一元二次不等式与分式不等式

第 1 步第 1 步 化正：二次项系数是正数吗？

$a=1>0$，开口向上。

✗ 两边乘 $-1$：$a=1$ 已经是正数，乘 $-1$ 反而要把不等号反向，多此一举。

第 2 步第 2 步 求根：对应方程的根是？

$(x+2)(x-3)=0$，根为 $-2,\ 3$。

✗ $x=2,\ x=-3$：$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$，根是 $-2$ 和 $3$——符号别弄反：$(x+2)=0$ 时 $x=-2$。

✗ 没有实根：$\Delta=1+24=25>0$，有两个根。

第 3 步第 3 步 看图：取哪一段？

大于取两边。

✗ 两根之间：开口向上的抛物线在两根之外位于 $x$ 轴上方——“大于取两边”。

第 4 步第 4 步 定端点：

不带等号，取开区间。

✗ 含端点（闭）：原式是 $>$，不带等号；根处函数值为 $0$，不满足 $>0$。

第 1 步第 1 步 化正：二次项系数是正数吗？

化成 $x^2-2x-3\leq 0$。

✗ 两边乘 $-1$：$x^2-2x-3\geq 0$：乘负数，不等号必须反向：$\geq$ 变 $\leq$。这是这类题最常见的错误。

✗ 不用变：$a=-1<0$，开口向下。先化正，后面才能统一用“大于取两边，小于取中间”。

第 2 步第 2 步 求根：对应方程的根是？

$(x+1)(x-3)\leq 0$。

✗ $x=1,\ x=-3$：$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$，根是 $-1$ 和 $3$。

第 3 步第 3 步 看图：取哪一段？

小于取中间。

✗ 两根之外：现在是 $\leq 0$，小于取中间。

第 4 步第 4 步 定端点：

带等号，取闭区间。

✗ 不含端点（开）：带等号 $\leq$，根处函数值为 $0$，满足条件，要取到。

第 1 步第 1 步 化正：二次项系数是正数吗？

开口向上。

✗ 两边乘 $-1$：$a=1$ 已经是正数。

第 2 步第 2 步 求根：对应方程的根是？

$(x-2)^2>0$，重根 $x=2$。

✗ 两个根 $x=\pm 2$：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$\Delta=0$，只有一个重根。

✗ 没有实根：$\Delta=16-16=0$，有一个重根。

第 3 步第 3 步 看图：取哪一段？

抛物线只在 $x=2$ 碰一下 $x$ 轴，其余都在上方。

✗ $\mathbb{R}$：$x=2$ 时 $(x-2)^2=0$，不满足 $>0$。

✗ $\varnothing$：抛物线只在 $x=2$ 处碰到 $x$ 轴，其余地方都在上方。

第 4 步第 4 步 定端点：

解集 $\{x\mid x\neq 2\}$。

✗ 写成 $(2,+\infty)$：$x<2$ 的部分也满足，不能丢。

第 1 步第 1 步 转化：分式不等式等价于？

商与积同号，再去掉分母的根。

✗ $(x-1)(x+2)\leq 0$：$x=-2$ 时分母为 $0$，原式没有意义——带等号的分式不等式一定要单独去掉分母的根。

✗ $x-1\leq 0$：不能直接乘 $x+2$：它可能是负数。商与积同号，改成乘积再判断。

第 2 步第 2 步 求根：对应方程的根是？

根为 $-2,\ 1$。

✗ $x=-1,\ x=2$：$x-1=0$ 得 $x=1$，$x+2=0$ 得 $x=-2$。

第 3 步第 3 步 看图：取哪一段？

小于取中间。

✗ 两根之外：$\leq 0$，小于取中间。

第 4 步第 4 步 定端点：

分子的根看等号，分母的根永远开。

✗ 两端都闭：$x=-2$ 使分母为 $0$，永远不能取。

✗ 两端都开：$x=1$ 时分式等于 $0$，满足 $\leq 0$，要取到。

第 1 步第 1 步 移项通分：

$\frac{x+2}{x-1}-2=\frac{4-x}{x-1}\geq 0$。

✗ $x+2\geq 2(x-1)$：不能直接乘 $x-1$：不知道它是正是负。先移项：$\frac{x+2}{x-1}-2=\frac{4-x}{x-1}$。

第 2 步第 2 步 化正（分子 $x$ 的系数为负）：

$\frac{x-4}{x-1}\leq 0$。

✗ $\frac{x-4}{x-1}\geq 0$：分子乘 $-1$，不等号要反向。

第 3 步第 3 步 看图：取哪一段？

取 $1$ 和 $4$ 之间。

✗ $1$ 和 $4$ 之外：$\leq 0$，小于取中间。

第 4 步第 4 步 定端点：

得 $(1,4]$。

✗ $1$ 闭、$4$ 开：反了：$x=1$ 是分母的根，永远不能取；$x=4$ 使分式为 $0$，满足 $\leq 0$。