奇偶性qī'ǒuxìng

Khái niệm cơ bản

Tính chẵn lẻ mô tả tính chất đối xứng của hàm số. Một hàm số có thể là hàm chẵn, hàm lẻ, hoặc không phải cả hai.

Điều kiện tiên quyết: Để hàm số có tính chẵn lẻ, tập xác định phải đối xứng qua gốc tọa độ (nếu $x$ thuộc tập xác định thì $-x$ cũng phải thuộc tập xác định).

Định nghĩa

Hàm chẵn (偶函数)

Hàm số $f$ là hàm chẵn nếu: $f(-x) = f(x) \quad \text{với mọi } x \text{ trong tập xác định}$

Tính chất đồ thị: Đồ thị đối xứng qua trục tung.

Hàm lẻ (奇函数)

Hàm số $f$ là hàm lẻ nếu: $f(-x) = -f(x) \quad \text{với mọi } x \text{ trong tập xác định}$

Tính chất đồ thị: Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Tính chất đặc biệt của hàm lẻ

Nếu $f$ là hàm lẻ và $0$ thuộc tập xác định, thì $f(0) = 0$.

Chứng minh: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, suy ra $2f(0) = 0$, do đó $f(0) = 0$.

Các hàm số thường gặp và tính chẵn lẻ

Hàm số	Tính chẵn lẻ	Kiểm tra
$y = x^n$ ($n$ chẵn)	Chẵn	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ lẻ)	Lẻ	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	Lẻ	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Chẵn	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Lẻ	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Không phải cả hai	$a^{-x} \neq a^x$ và $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Không phải cả hai	Tập xác định không đối xứng

Phương pháp xác định tính chẵn lẻ

Quy trình từng bước

1. Kiểm tra tính đối xứng của tập xác định: Khi $x$ thuộc tập xác định, $-x$ có thuộc không?
2. Tính $f(-x)$: Thay $-x$ vào hàm số
3. So sánh với $f(x)$ và $-f(x)$:
   • Nếu $f(-x) = f(x)$ → Hàm chẵn
   • Nếu $f(-x) = -f(x)$ → Hàm lẻ
   • Trường hợp khác → Không chẵn không lẻ

Ví dụ 1: Hàm chẵn

Xác định tính chẵn lẻ của $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Bước 1: Tập xác định là $\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc tọa độ. ✓

Bước 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Kết luận: $f$ là hàm chẵn.

Ví dụ 2: Hàm lẻ

Xác định tính chẵn lẻ của $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Bước 1: Tập xác định là $\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc tọa độ. ✓

Bước 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Kết luận: $f$ là hàm lẻ.

Ví dụ 3: Không phải cả hai

Xác định tính chẵn lẻ của $f(x) = x + 1$.

Bước 1: Tập xác định là $\mathbb{R}$, đối xứng. ✓

Bước 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Vì $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$:

Kết luận: $f$ không phải hàm chẵn cũng không phải hàm lẻ.

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập sau được thiết kế theo chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Xác định tính chẵn lẻ của $f(x) = x^3 - x$.

Lời giải: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Đáp án: Hàm lẻ

---

Ví dụ 2: Trung bình (Độ khó ★★★☆☆)

Nếu $f(x)$ là hàm lẻ và $f(2) = 3$, tìm $f(-2) + f(0)$.

Lời giải:

Vì $f$ là hàm lẻ:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (tính chất của hàm lẻ)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Đáp án: $-3$

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ là hàm lẻ, tìm giá trị của $b$ và $d$.

Lời giải:

Với hàm lẻ: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

So sánh: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Yêu cầu: $bx^2 = -bx^2$ và $d = -d$

Do đó: $b = 0$ và $d = 0$

Đáp án: $b = 0$, $d = 0$

Tính chẵn lẻ và phép toán

Tổng các hàm số

$f$	$g$	$f + g$
Chẵn	Chẵn	Chẵn
Lẻ	Lẻ	Lẻ
Chẵn	Lẻ	Không phải cả hai (nói chung)

Tích các hàm số

$f$	$g$	$f \cdot g$
Chẵn	Chẵn	Chẵn
Lẻ	Lẻ	Chẵn
Chẵn	Lẻ	Lẻ

Các lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Bỏ qua tính đối xứng của tập xác định

Sai: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm chẵn vì $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Đúng: Tập xác định $[0, +\infty)$ không đối xứng qua gốc tọa độ, nên không thể xét tính chẵn lẻ. ✓

❌ Lỗi 2: Quên $f(0) = 0$ đối với hàm lẻ

Nếu $f$ là hàm lẻ và xác định tại $x = 0$, thì $f(0) = 0$.

❌ Lỗi 3: Chỉ kiểm tra một giá trị

Sai: $f(1) = f(-1)$, nên $f$ là hàm chẵn. ✗

Đúng: Phải xác minh $f(-x) = f(x)$ với TẤT CẢ $x$ trong tập xác định. ✓

Mẹo học tập

1. ✅ Kiểm tra tập xác định trước: Cần đối xứng qua gốc tọa độ
2. ✅ Sử dụng kiểm tra đại số: Không chỉ dựa vào đồ thị
3. ✅ Nhớ tính chất đặc biệt: Hàm lẻ đi qua gốc tọa độ
4. ✅ Biết quy tắc nhân: lẻ × lẻ = chẵn

---

💡 Mẹo thi: Đối với đa thức, hàm lẻ chỉ có các hạng tử bậc lẻ và hàm chẵn chỉ có các hạng tử bậc chẵn!