区间qūjiān

Khái niệm cốt lõi

Khoảng là tập hợp các số thực nằm giữa hai điểm đầu và cuối. Ký hiệu khoảng cung cấp một cách trình bày gọn gàng để biểu diễn các tập con liên tục của các số thực.

Bốn loại khoảng có giới hạn

Loại	Ký hiệu	Trình tạo bộ	Mô tả
Đã đóng	$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Bao gồm cả hai điểm cuối
Mở	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	Loại trừ cả hai điểm cuối
Nửa mở (bên trái)	$(a, b]$	$\{x \mid a < x \leq b\}$	Loại trừ bên trái, bao gồm bên phải
Nửa mở (bên phải)	$[a, b)$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Bao gồm bên trái, không bao gồm bên phải

Khoảng không giới hạn

Ký hiệu	Trình tạo bộ	Mô tả
$[a, +\infty)$	$\{x \mid x \geq a\}$	Tất cả các số ≥ a
$(a, +\infty)$	$\{x \mid x > a\}$	Tất cả các số lớn hơn a
$(-\infty, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	Tất cả các số ≤ b
$(-\infty, b)$	$\{x \mid x < b\}$	Tất cả các số < b
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	Tất cả các số thực

Lưu ý quan trọng: Khi viết ký hiệu vô cực, luôn phải dùng dấu ngoặc đơn (không bao giờ dùng dấu ngoặc vuông) vì ±∞ không phải là số thực.

Quy tắc về vòng đấu loại trực tiếp

• Dấu ngoặc vuông [ ]: Điểm cuối ĐƯỢC tính vào (≤ hoặc ≥)
• Dấu ngoặc tròn ( ): Điểm cuối KHÔNG được tính vào (< hoặc >)
• Infinity: Luôn sử dụng dấu ngoặc tròn

Các phép toán khoảng

Giao điểm của các khoảng

$[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$

Hãy xem xét vùng chồng chéo:

• Điểm cuối bên trái: max(1, 3) = 3
• Điểm cuối bên phải: min(5, 8) = 5

Hợp của các khoảng

$[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$

Nếu các khoảng thời gian trùng nhau, hãy gộp chúng lại.

$[1, 2] \cup [4, 5]$ cannot be simplified (disjoint intervals)

Tổng hợp các khoảng

Nếu $A = [2, 5]$ và $U = \mathbb{R}$: $\complement_{\mathbb{R}} A = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$

Lưu ý: Đầu mút đóng → mở, đầu mút mở → đóng.

Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chuyển đổi bất đẳng thức thành khoảng

Được cho: $-3 < x \leq 7$

Câu trả lời: $(-3, 7]$

Ví dụ 2: Chuyển đổi khoảng thành bất đẳng thức

Đã cho: $[-2, 4)$

Câu trả lời: $-2 \leq x < 4$

Ví dụ 3: Giao nhau của các khoảng

Đã cho: $A = [-1, 4]$, $B = (2, 6)$

Tìm: $A \cap B$

Giải pháp:

• Điểm cuối bên trái: max(-1, 2) = 2, dấu ngoặc: ( (mở, từ B)
• Điểm cuối bên phải: min(4, 6) = 4, dấu ngoặc: ] (đóng, tính từ A)

Câu trả lời: $(2, 4]$

Ví dụ 4: Hợp các khoảng

Đã cho: $A = (-\infty, 3)$, $B = [1, +\infty)$

Tìm: $A \cup B$

Giải pháp: Vì 1 < 3, nên các khoảng này chồng chéo lên nhau và bao phủ toàn bộ tập hợp các số thực.

Câu trả lời: $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

Các bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi của CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Mức độ khó ★☆☆☆☆)

Hãy biểu diễn bất đẳng thức $2 \leq x < 6$ dưới dạng ký hiệu khoảng.

Tùy chọn:

• A. $(2, 6]$
• B. $[2, 6)$
• C. $(2, 6)$
• D. $[2, 6]$

Giải pháp:

• $x \geq 2$: sử dụng [
• $x < 6$: sử dụng )

Đáp án: B

---

Ví dụ 2: Trung cấp (Mức độ khó ★★★☆☆)

Tìm $[-3, 2] \cap (0, 5]$.

Giải pháp:

• Điểm đầu bên trái: max(-3, 0) = 0, dấu ngoặc: ( (từ B, mở)
• Điểm cuối bên phải: min(2, 5) = 2, dấu ngoặc: ] (từ A, đóng)

Câu trả lời: $(0, 2]$

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Mức độ khó ★★★★☆)

Nếu là $A = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \leq 0\}$, hãy biểu diễn A dưới dạng ký hiệu khoảng.

Giải pháp:

Phân tích đa thức bậc hai thành các nhân tử: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$

Parabol mở hướng lên trên, do đó bất đẳng thức sau đây đúng giữa các nghiệm: $1 \leq x \leq 4$

Câu trả lời: $[1, 4]$

Độ dài của một khoảng

Đối với một khoảng có giới hạn $[a, b]$: $\text{Length} = b - a$

Ví dụ: Chiều dài của $[-2, 5]$ là $5 - (-2) = 7$

Những sai lầm thường gặp

❌ Lỗi 1: Sử dụng dấu ngoặc với số vô cực

Sai: $[2, +\infty]$ ✗

Đúng: $[2, +\infty)$ ✓

❌ Lỗi 2: Điểm cuối sai sau giao lộ

Sai: $[1, 5] \cap [3, 8] = [1, 8]$ ✗

Đúng: $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ ✓

❌ Lỗi 3: Quên thay đổi loại dấu ngoặc cho phần bù

Sai: Phần bù của $[a, b]$ là $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$ ✗

Đúng: Mã sản phẩm tương ứng với $[a, b]$ là $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$ ✓

❌ Sai lầm thứ 4: Giả định ngã tư trống

Hai khoảng chỉ có giao điểm rỗng nếu chúng hoàn toàn không chồng chéo lên nhau.

$[1, 3] \cap [3, 5] = \{3\}$ (một điểm, không trống!)

Mẹo học tập

1. ✅ Hãy nhớ ý nghĩa của các dấu ngoặc: [ ] bao gồm, ( ) không bao gồm
2. ✅ ∞ luôn bằng ( ): Không bao giờ dùng dấu ngoặc với vô cực
3. ✅ Giao điểm = vùng chồng chéo: Lấy vùng chung
4. ✅ Đảo dấu ngoặc trong phép bổ sung: [ ↔ ) và ] ↔ (

---

💡 Mẹo làm bài thi: Khi giải bất phương trình bậc hai, hãy luôn vẽ đồ thị parabol để xác định chính xác khoảng nghiệm!