交集jiāojí

Khái niệm cơ bản

Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∩ B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B.

Định nghĩa toán học

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ và } x \in B\}$

Một phần tử thuộc giao khi và chỉ khi nó thuộc cả hai tập hợp.

Tính chất quan trọng

1. Tính giao hoán

$A \cap B = B \cap A$

2. Tính kết hợp

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

3. Phần tử đơn vị

$A \cap U = A$ (U là tập hợp vũ trụ)

4. Giao với tập rỗng

$A \cap \emptyset = \emptyset$

Ví dụ

Ví dụ 1: Tập hợp hữu hạn

Cho: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Tìm: A ∩ B

Giải: Phần tử chung: 3, 4, 5

Đáp án: A ∩ B = {3, 4, 5}

Ví dụ 2: Giao của khoảng

Cho: A = [-2, 5], B = [1, 8]

Tìm: A ∩ B

Giải: Phần chồng lấn của hai khoảng là [1, 5]

Đáp án: A ∩ B = [1, 5]

Bài tập CSCA

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★☆☆☆☆)

Nếu A = {a, b, c, d} và B = {c, d, e, f}, tìm A ∩ B.

Giải: Phần tử chung: c, d

Đáp án: {c, d}

Ví dụ 2: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu A ∩ B = A, mối quan hệ giữa tập hợp A và B là gì?

Giải: Nếu A ∩ B = A, thì mọi phần tử của A cũng phải thuộc B.

Đáp án: A ⊆ B (A là tập con của B)

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm lẫn giao và hợp

Sai: A ∩ B bao gồm tất cả phần tử từ cả hai tập hợp ✗

Đúng: A ∩ B chỉ bao gồm phần tử chung ✓

Mẹo học tập

1. ✅ Tư duy "VÀ": Giao có nghĩa là VÀ - phần tử phải thỏa mãn CẢ HAI điều kiện
2. ✅ Vẽ biểu đồ Venn: Biểu diễn trực quan giúp tránh sai sót

---

💡 Mẹo thi: Bài toán giao thường xuất hiện với bất phương trình bậc hai. Luôn giải bất phương trình trước, sau đó tìm giao!