Term Dictionary - Mathematics

Calculate the definite integral ∫₀¹ x dx.

积分

计算定积分 ∫₀¹ x dx。

jīfēn

Line AB is perpendicular to line CD.

垂直

直线 AB 垂直于直线 CD。

chuízhí

The formula for the area of a circle: A = πr²

圆

求圆的面积公式：A = πr²

yuán

The mean of the sequence 2, 4, 6, 8 is 5.

平均数

数列 2, 4, 6, 8 的平均数是 5。

píngjūnshù

The slope of the line y = 2x + 1 is 2.

斜率

直线 y = 2x + 1 的斜率是 2。

xiélǜ

The graph of the function y = x² is a parabola.

抛物线

函数 y = x² 的图像是一条抛物线。

pāowùxiàn

Pythagorean theorem: a² + b² = c²

定理

勾股定理：a² + b² = c²

dìnglǐ

In the equation 2x + 3 = 7, x is the variable.

变量

在方程 2x + 3 = 7 中，x 是变量。

biànliàng

In the polynomial 3x² + 2x + 1, 3 is the coefficient of x².

系数

在多项式 3x² + 2x + 1 中，3 是 x² 的系数。

xìshù

The range of the function f(x) = x² is y ≥ 0.

值域

函数 f(x) = x² 的值域是 y ≥ 0。

zhíyù

If A ⊆ B, then A is a subset of B

子集

若 A ⊆ B，则 A 是 B 的子集

zǐjí

The set A ∪ B represents the union of A and B

并集

集合 A ∪ B 表示 A 与 B 的并集

bìngjí

The set A ∩ B represents the intersection of A and B

交集

集合 A ∩ B 表示 A 与 B 的交集

jiāojí

Regarding the complement of set A in universal set U, which statement is incorrect?

补集

关于全集 U 中集合 A 的补集，下列说法错误的是？

bǔjí

What is the range of the absolute value function f(x) = |x|?

绝对值

绝对值函数 f(x) = |x| 的值域是？

juéduìzhí

Determine the monotonicity of function f(x) = x³ on R

单调性

判断函数 f(x) = x³ 在 R 上的单调性

dāndiàoxìng

Determine the parity of function f(x) = x²

奇偶性

判断函数 f(x) = x² 的奇偶性

jīǒuxìng

What is the periodicity of the trigonometric function sin(x)?

周期性

三角函数 sin(x) 的周期性是什么？

zhōuqīxìng

Given that function f(x) is monotonically increasing on interval [1, 5], find the range of a

单调递增

已知函数 f(x) 在区间 [1, 5] 上单调递增，求 a 的取值范围

dāndiào dìzēng

Function f(x) = -x² is monotonically decreasing when x > 0

单调递减

函数 f(x) = -x² 在 x > 0 时单调递减

dāndiào dìjiǎn

If f(x) = 2x + 1, find the inverse function f⁻¹(x)

反函数

若 f(x) = 2x + 1，求反函数 f⁻¹(x)

fǎnhánshù

Let f(x) = x² and g(x) = 2x, find the composite function f(g(x))

复合函数

设 f(x) = x² 和 g(x) = 2x，求复合函数 f(g(x))

fùhé hánshù

What is the range of the exponential function f(x) = 2ˣ?

指数函数

指数函数 f(x) = 2ˣ 的值域是多少？

zhǐshù hánshù

Which of the following properties of trigonometric functions is correct?

三角函数

下列关于三角函数的性质，正确的是？

sānjiǎo hánshù

What is the standard equation of an ellipse?

椭圆

椭圆的标准方程是什么？

tuǒyuán

What is the equation of the asymptotes of a hyperbola?

双曲线

双曲线的渐近线方程是什么？

shuāngqūxiàn

Find the asymptotes of function f(x) = 1/x

渐近线

求函数 f(x) = 1/x 的渐近线

jiànjìnxiàn

What is the general term formula of sequence {aₙ}?

数列

数列 {aₙ} 的通项公式是什么？

shùliè

Given the sum of the first n terms Sₙ = n², find the general term formula aₙ

通项公式

已知数列前 n 项和 Sₙ = n²，求通项公式 aₙ

tōngxiàng gōngshì

Find the product of matrix A and matrix B

矩阵

求矩阵 A 和矩阵 B 的乘积

jǔzhèn

Calculate the value of the determinant of a matrix

行列式

计算矩阵的行列式的值

hánglièshì

Find the limit: lim(x→0) sin(x)/x

极限

求极限：lim(x→0) sin(x)/x

jíxiàn

Calculate the variance of the dataset

方差

计算数据集的方差

fāngchā

Standard deviation equals the square root of variance

标准差

标准差等于方差的平方根

biāozhǔnchā

If a is an element of set A, we write a ∈ A.

元素

如果 a 是集合 A 的元素，记作 a ∈ A。

yuánsù

A set containing no elements is called the empty set, denoted ∅.

空集

不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅。

kōngjí

In a specific problem, the set containing all objects under study is called the universal set, denoted U.

全集

在特定问题中，包含所有研究对象的集合称为全集，记作 U。

quánjí

Sets can be expressed using roster notation {1, 2, 3} or set-builder notation {x | x > 0}.

集合的表示法

集合可以用列举法 {1, 2, 3} 或描述法 {x | x > 0} 表示。

jíhé de biǎoshìfǎ

The difference of sets A and B is A - B = {x | x ∈ A and x ∉ B}.

差集

集合 A 与 B 的差集 A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。

chājí

Venn diagrams visually represent relationships between sets.

韦恩图

用韦恩图可以直观地表示集合之间的关系。

wéiēntú

Solve the quadratic inequality: x² - 5x + 6 > 0

一元二次不等式

解一元二次不等式：x² - 5x + 6 > 0

yīyuán èrcì bùděngshì

The solution set of inequality x > 3 is {x | x > 3}.

解集

不等式 x > 3 的解集是 {x | x > 3}。

jiějí

The discriminant of quadratic equation ax² + bx + c = 0 is Δ = b² - 4ac.

判别式

二次方程 ax² + bx + c = 0 的判别式是 Δ = b² - 4ac。

pànbiéshì

Open interval (a, b) represents {x | a < x < b}.

区间表示法

开区间 (a, b) 表示 {x | a < x < b}。

qūjiān biǎoshìfǎ

Solve the rational inequality: (x + 1)/(x - 2) > 0

分式不等式

解分式不等式：(x + 1)/(x - 2) > 0

fēnshì bùděngshì

A sign chart helps determine where a function is positive or negative.

符号表

使用符号表可以确定函数在各区间的正负性。

fúhàobiǎo

In solving inequalities, critical values are points where the expression equals zero or is undefined.

临界值

在解不等式时，临界值是使表达式为零或无定义的点。

línjiè zhí

For function f(x) = 1/x, x = 0 is an undefined point.

无定义点

对于函数 f(x) = 1/x，x = 0 是无定义点。

wú dìngyì diǎn

Use the test point method to determine the sign of inequality in each interval.

试点法

用试点法确定不等式各区间的符号。

shìdiǎnfǎ

If a > b and b > c, then a > c (transitive property).

传递性

如果 a > b 且 b > c，则 a > c（传递性）。

chuándìxìng

The general form of a power function is f(x) = xⁿ.

幂函数

幂函数的一般形式为 f(x) = xⁿ。

mì hánshù

In 2³, 3 is the exponent.

指数

在 2³ 中，3 是指数。

zhǐshù

In 2³, 2 is the base.

底数

在 2³ 中，2 是底数。

dǐshù

x^(1/2) represents the square root of x (rational exponent).

有理指数

x^(1/2) 表示 x 的平方根（有理指数）。

yǒulǐ zhǐshù

√x is the radical form of x^(1/2).

根式形式

√x 是 x^(1/2) 的根式形式。

gēnshì xíngshì

Population increases in exponential growth.

指数增长

人口以指数增长的方式增加。

zhǐshù zēngzhǎng

Radioactive substances follow exponential decay.

指数衰减

放射性物质遵循指数衰减规律。

zhǐshù shuāijiǎn

The natural exponential function is f(x) = eˣ, where e ≈ 2.718.

自然指数

自然指数函数是 f(x) = eˣ，其中 e ≈ 2.718。

zìrán zhǐshù

Compound interest formula: A = P(1 + r)ⁿ

复利

复利计算公式：A = P(1 + r)ⁿ

fùlì

Natural logarithm has base e, written as ln x.

自然对数

自然对数以 e 为底，记作 ln x。

zìrán duìshù

Common logarithm has base 10, written as log x.

常用对数

常用对数以 10 为底，记作 log x。

chángyòng duìshù

log(ab) = log a + log b (logarithmic property)

对数性质

log(ab) = log a + log b（对数性质）

duìshù xìngzhì

Change of base formula: logₐ b = (log b)/(log a)

换底公式

换底公式：logₐ b = (log b)/(log a)

huàndǐ gōngshì

In a right triangle, sin θ = opposite/hypotenuse.

正弦

在直角三角形中，sin θ = 对边/斜边。

zhèngxián

In a right triangle, cos θ = adjacent/hypotenuse.

余弦

在直角三角形中，cos θ = 邻边/斜边。

yúxián

In a right triangle, tan θ = opposite/adjacent.

正切

在直角三角形中，tan θ = 对边/邻边。

zhèngqiē

The unit circle has radius 1 and is used to define trigonometric functions.

单位圆

单位圆的半径为 1，用于定义三角函数。

dānwèi yuán

If a, b, c form an arithmetic sequence, then b is the arithmetic mean of a and c.

等差中项

如果 a, b, c 成等差数列，则 b 是 a 和 c 的等差中项。

děngchā zhōngxiàng

The nth term formula for arithmetic sequence: aₙ = a₁ + (n-1)d

通项公式

等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d

tōngxiàng gōngshì

Arithmetic series sum formula: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

等差级数

等差级数求和公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

děngchā jíshù

In a geometric sequence, the ratio between consecutive terms is called the common ratio q.

公比

等比数列中，相邻两项的比值称为公比 q。

gōngbǐ

If a, b, c form a geometric sequence, then b² = ac.

等比中项

如果 a, b, c 成等比数列，则 b² = ac。

děngbǐ zhōngxiàng

Geometric series sum formula: Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q), where q ≠ 1.

等比级数

等比级数求和公式：Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)，其中 q ≠ 1。

děngbǐ jíshù

When |q| < 1, infinite geometric series converges to S = a₁/(1 - q).

无穷等比级数

当 |q| < 1 时，无穷等比级数收敛于 S = a₁/(1 - q)。

wúqióng děngbǐ jíshù

The derivative represents the instantaneous rate of change of a function at a point.

瞬时变化率

导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

shùnshí biànhuàlǜ

The geometric meaning of derivative is the slope of the tangent line at a point on the curve.

切线

导数的几何意义是曲线上某点处的切线斜率。

qiēxiàn

The derivative of f(x) at x = a equals the slope of the tangent.

切线斜率

函数 f(x) 在 x = a 处的导数等于切线斜率。

qiēxiàn xiélǜ

Limit definition of derivative: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h

极限定义

导数的极限定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h

jíxiàn dìngyì

When f'(x) = 0 or f'(x) does not exist, x is a critical point.

临界点

当 f'(x) = 0 或 f'(x) 不存在时，x 是临界点。

línjiè diǎn

If f(a) ≥ f(x) for all x near a, then f(a) is a local maximum.

局部最大值

如果 f(a) ≥ f(x) 对于 a 附近的所有 x 成立，则 f(a) 是局部最大值。

júbù zuìdàzhí

If f(a) ≤ f(x) for all x near a, then f(a) is a local minimum.

局部最小值

如果 f(a) ≤ f(x) 对于 a 附近的所有 x 成立，则 f(a) 是局部最小值。

júbù zuìxiǎozhí

Derivatives can solve many optimization problems, such as finding maximum profit or minimum cost.

最优化问题

利用导数可以解决许多最优化问题，如求最大利润或最小成本。

zuìyōuhuà wèntí

Point-slope form of linear equation: y - y₁ = m(x - x₁)

直线方程

直线方程的点斜式：y - y₁ = m(x - x₁)

zhíxiàn fāngchéng

Standard equation of circle: (x - a)² + (y - b)² = r², where r is the radius.

半径

圆的标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中 r 是半径。

bànjìng

The vertex of parabola y = ax² + bx + c is at (-b/2a, f(-b/2a)).

顶点

抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。

dǐngdiǎn

An ellipse has two foci satisfying PF₁ + PF₂ = 2a (constant).

焦点

椭圆有两个焦点，满足 PF₁ + PF₂ = 2a（常数）。

jiāodiǎn

The eccentricity of ellipse is e = c/a, where 0 < e < 1.

离心率

椭圆的离心率 e = c/a，其中 0 < e < 1。

líxīnlǜ

The magnitude of vector a = (x, y) is |a| = √(x² + y²).

模长

向量 a = (x, y) 的模长是 |a| = √(x² + y²)。

mócháng

Dot product of vectors: a · b = |a||b|cos θ

点积

向量点积：a · b = |a||b|cos θ

diǎnjī

For complex number z = a + bi, a is the real part.

实部

对于复数 z = a + bi，a 是实部。

shíbù

For complex number z = a + bi, b is the imaginary part.

虚部

对于复数 z = a + bi，b 是虚部。

xūbù

The conjugate of complex number z = a + bi is z̄ = a - bi.

共轭复数

复数 z = a + bi 的共轭复数是 z̄ = a - bi。

gòngè fùshù

The modulus of complex number z = a + bi is |z| = √(a² + b²).

模

复数 z = a + bi 的模是 |z| = √(a² + b²)。

mó

The sample space for flipping a coin is S = {heads, tails}.

样本空间

抛一枚硬币的样本空间是 S = {正面, 反面}。

yàngběn kōngjiān

In probability theory, an event is a subset of the sample space.

事件

在概率论中，事件是样本空间的子集。

shìjiàn

Factorial of 5: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

阶乘

5 的阶乘：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

jiēchéng

The median of dataset {1, 3, 5, 7, 9} is 5.

中位数

数据集 {1, 3, 5, 7, 9} 的中位数是 5。

zhōngwèishù

The mode of dataset {1, 2, 2, 3, 4} is 2.

众数

数据集 {1, 2, 2, 3, 4} 的众数是 2。

zhòngshù

Deviation is the difference between a data point and the mean.

偏差

偏差是数据点与平均值之间的差异。

piānchā

The normal distribution curve is bell-shaped and symmetric about the mean.

正态分布

正态分布的曲线呈钟形，关于均值对称。

zhèngtài fēnbù

The normal distribution graph is a bell curve.

钟形曲线

正态分布图呈钟形曲线。

zhōngxíng qūxiàn

Random variable X represents the outcome of a random experiment.

随机变量

随机变量 X 表示随机实验的结果。

suíjī biànliàng

Solve the equation: 2x + 3 = 7

方程

求解方程：2x + 3 = 7

fāngchéng

Simplify the expression: 2x + 3x = 5x

表达式

化简表达式：2x + 3x = 5x

biǎodáshì