奇偶性qī'ǒuxìng

核心概念

奇偶性描述函数的对称性质。函数可以是偶函数、奇函数或者两者都不是。

前提条件：函数要具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称（若 $x$ 在定义域内，则 $-x$ 也必须在定义域内）。

定义

偶函数

函数 $f$ 是偶函数，若： $f(-x) = f(x) \quad \text{对定义域内所有 } x \text{ 成立}$

图形特征：图像关于 y轴 对称。

奇函数

函数 $f$ 是奇函数，若： $f(-x) = -f(x) \quad \text{对定义域内所有 } x \text{ 成立}$

图形特征：图像关于原点对称。

奇函数的特殊性质

若 $f$ 是奇函数且 $0$ 在定义域内，则 $f(0) = 0$。

证明：$f(0) = f(-0) = -f(0)$，所以 $2f(0) = 0$，因此 $f(0) = 0$。

常见函数的奇偶性

函数	奇偶性	验证
$y = x^n$（$n$ 为偶数）	偶函数	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$（$n$ 为奇数）	奇函数	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	偶函数	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	奇函数	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	偶函数	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	奇函数	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	非奇非偶	$a^{-x} \neq a^x$ 且 $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	非奇非偶	定义域不对称

判断奇偶性的方法

分步过程

1. 检查定义域对称性：当 $x$ 在定义域时，$-x$ 是否也在？
2. 计算 $f(-x)$：将 $-x$ 代入函数
3. 与 $f(x)$ 和 $-f(x)$ 比较：
   • 若 $f(-x) = f(x)$ → 偶函数
   • 若 $f(-x) = -f(x)$ → 奇函数
   • 否则 → 非奇非偶

例1：偶函数

判断 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ 的奇偶性。

步骤1：定义域是 $\mathbb{R}$，关于原点对称。✓

步骤2： $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

结论：$f$ 是偶函数。

例2：奇函数

判断 $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$ 的奇偶性。

步骤1：定义域是 $\mathbb{R}$，关于原点对称。✓

步骤2： $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

结论：$f$ 是奇函数。

例3：非奇非偶

判断 $f(x) = x + 1$ 的奇偶性。

步骤1：定义域是 $\mathbb{R}$，对称。✓

步骤2： $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

由于 $f(-x) \neq f(x)$ 且 $f(-x) \neq -f(x)$：

结论：$f$ 既不是奇函数也不是偶函数。

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★★☆☆☆）

判断 $f(x) = x^3 - x$ 的奇偶性。

解法： $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

答案：奇函数

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

若 $f(x)$ 是奇函数且 $f(2) = 3$，求 $f(-2) + f(0)$。

解法：

由于 $f$ 是奇函数：

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$（奇函数的性质）

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

答案：$-3$

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例题3：高级（难度 ★★★★☆）

若 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 是奇函数，求 $b$ 和 $d$ 的值。

解法：

对于奇函数：$f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

比较：$-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

要求：$bx^2 = -bx^2$ 且 $d = -d$

因此：$b = 0$，$d = 0$

答案：$b = 0$，$d = 0$

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例题4：高级（难度 ★★★★☆）

证明 $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$ 是奇函数。

解法：

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

计算 $f(x) + f(-x)$： $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

因此：$f(-x) = -f(x)$

结论：$f(x)$ 是奇函数。

奇偶性与运算

函数的和

$f$	$g$	$f + g$
偶	偶	偶
奇	奇	奇
偶	奇	一般为非奇非偶

函数的积

$f$	$g$	$f \cdot g$
偶	偶	偶
奇	奇	偶
偶	奇	奇

常见错误

❌ 错误1：忽略定义域对称性

错误：$f(x) = \sqrt{x}$ 是偶函数因为 $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

正确：定义域 $[0, +\infty)$ 不关于原点对称，所以无法讨论奇偶性。✓

❌ 错误2：忘记奇函数 $f(0) = 0$

若 $f$ 是奇函数且在 $x = 0$ 处有定义，则 $f(0) = 0$。

❌ 错误3：只检验一个值

错误：$f(1) = f(-1)$，所以 $f$ 是偶函数。✗

正确：必须验证对定义域内所有 $x$ 都有 $f(-x) = f(x)$。✓

学习要点

1. ✅ 先检查定义域：必须关于原点对称
2. ✅ 用代数方法验证：不要只靠图形
3. ✅ 记住特殊性质：奇函数过原点
4. ✅ 掌握乘积法则：奇 × 奇 = 偶

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💡 考试要点：对于多项式，奇函数只有奇次项，偶函数只有偶次项！