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距离下次考试2026/11/14 – 2026/11/15还剩：

考点专项约 15 分钟近 5 场 CSCA 真题中有 4 场考过（共 4 题）

由终边上的点求三角函数值

不用背：终边上有一个点 P(x,y)，算出 r，三个比 y/r、x/r、y/x 就是 sin、cos、tan。用互动图看懂 r 是怎么把点拉回单位圆的，再学会定象限、定符号。附 CSCA 真题与模考例题、学生最常见的 3 类错误和 5 题掌握检测。

1先做一道

先凭感觉做一道真题：

真题来源：CSCA 2026年4月数学真题

若点 P(x,y)P ( x , y ) 在角 α\alpha 终边上，记 r=x2+y2r = \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ，则 cos⁡α=\cos \alpha =

2核心：一个点，三个比

终边上随便取一个点 P(x,y)P(x,y)（不是原点），三角函数就由它决定：先算 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}，再用 sin⁡α=yr\sin\alpha=\dfrac yr、cos⁡α=xr\cos\alpha=\dfrac xr、tan⁡α=yx\tan\alpha=\dfrac yx。点取在终边的哪里都一样，因为比值不随点沿终边移动而改变。

点一个点，或拖动 xx、yy：看直角三角形、rr，以及 sin、cos、tan 是怎么算出来的。空心点是把 PP 拉回单位圆。

P(1,2)

实心点：P；空心点：把 P 拉回单位圆，它的坐标就是 (cos α, sin α)

  • r=12+22=5r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}
  • sin⁡α=yr=25=255\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
  • cos⁡α=xr=15=55\cos\alpha=\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}
  • tan⁡α=yx=21=2\tan\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{1}=2
  • 第一象限：sin +, cos +, tan +

一个点 → 三个比

  1. 终边上的点 P(x,y)P(x,y)
  2. 算 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}
  3. sin⁡α=yr\sin\alpha=\frac yr　cos⁡α=xr\cos\alpha=\frac xr　tan⁡α=yx\tan\alpha=\frac yx

正弦、余弦都除以 rr；正切是两个坐标的比，不用 rr。

各象限的符号

象限sin⁡α\sin\alphacos⁡α\cos\alphatan⁡α\tan\alpha
第一象限＋＋＋
第二象限＋－－
第三象限－－＋
第四象限－＋－

口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

遇到 α+π2\alpha+\frac\pi2：先化简，再用定义

  1. sin⁡(α+π2)\sin\left(\alpha+\frac\pi2\right)
  2. 化成 cos⁡α\cos\alpha
  3. =xr=\dfrac xr
  1. cos⁡(α+π2)\cos\left(\alpha+\frac\pi2\right)
  2. 化成 −sin⁡α-\sin\alpha
  3. =−yr=-\dfrac yr

顺序别反：括号里的 π2\frac\pi2 不能直接当成点的坐标去算。

文字版讲解

rr 是点到原点的距离。除以 rr，就是把 PP 沿终边拉回单位圆：拉回来的点 (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha,\sin\alpha) 的坐标，正好是 cos⁡α\cos\alpha 和 sin⁡α\sin\alpha。所以正弦、余弦都要除以 rr；正切 yx\dfrac yx 是两个坐标的比，不用 rr。

符号由象限决定：一全正，二正弦，三正切，四余弦。点在坐标轴上时，x=0x=0 则 tan⁡α\tan\alpha 没有意义。

已知三角函数值反求坐标：把定义写成方程，例如 y8+y2=33\dfrac{y}{\sqrt{8+y^2}}=\dfrac{\sqrt3}{3}，平方解出 y2y^2，再由象限定正负。遇到 sin⁡(α+π2)\sin(\alpha+\frac\pi2) 这类，先用诱导公式化成 α\alpha 的函数：sin⁡(α+π2)=cos⁡α\sin(\alpha+\frac\pi2)=\cos\alpha，cos⁡(α+π2)=−sin⁡α\cos(\alpha+\frac\pi2)=-\sin\alpha。

34 步法

以 P(1,2)P(1,2)，求 sin⁡α\sin\alpha 走一遍

  1. 1

    画点，定象限

    P(1,2)P(1,2)：x>0, y>0x>0,\ y>0，第一象限

    第一象限三个比都为正；不会判断时，先写出 xx、yy 的正负。

  2. 2

    算 $r$

    r=12+22=5r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5

    rr 永远是正数。

  3. 3

    用定义

    sin⁡α=25=255\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}

    • sin⁡α=yr\sin\alpha=\dfrac yr
    • cos⁡α=xr\cos\alpha=\dfrac xr
    • tan⁡α=yx\tan\alpha=\dfrac yx（不用 rr）

    分母不留根号：上下同乘 5\sqrt5。

  4. 4

    有 $\alpha\pm\frac\pi2$ 之类先化简

    • sin⁡(α+π2)=cos⁡α\sin(\alpha+\frac\pi2)=\cos\alpha
    • cos⁡(α+π2)=−sin⁡α\cos(\alpha+\frac\pi2)=-\sin\alpha

    想不起来，回“诱导公式”专项。

文字版讲解

  1. 1. 画点，定象限

    写出 xx、yy 的正负，定象限，也就定了三个比的符号。

  2. 2. 算 $r$

    r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}，永远是正数。

  3. 3. 用定义

    sin⁡α=yr\sin\alpha=\frac yr，cos⁡α=xr\cos\alpha=\frac xr，tan⁡α=yx\tan\alpha=\frac yx；分母不留根号。

  4. 4. 有 $\alpha\pm\frac\pi2$ 之类先化简

    先用诱导公式化成 α\alpha 的函数，再代入定义。

先选再看：4 个点走一遍

每一步先选，选错会告诉你为什么。

    第 1 步第 1 步 算 rr：

    看全部 4 个例子的完整讲解

    P(1,2), sin⁡αP(1,2),\ \sin\alpha

    1. 第 1 步第 1 步 算 rr：

      r=1+4=5r=\sqrt{1+4}=\sqrt5。

      ✗ 33：1+2=31+2=3 不是 rr。r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}，要先平方再相加再开方。

      ✗ 3\sqrt3：x2+y2=1+4=5x^2+y^2=1+4=5，不是 33：22=42^2=4。

    2. 第 2 步第 2 步 sin⁡α=\sin\alpha=？

      sin⁡α=yr=25\sin\alpha=\dfrac yr=\dfrac2{\sqrt5}。

      ✗ xr=15\dfrac{x}{r}=\dfrac{1}{\sqrt5}：这是 cos⁡α\cos\alpha。正弦看 yy（竖直的那个坐标）。

      ✗ xy=12\dfrac{x}{y}=\dfrac12：这是余切 cot⁡α=xy=12\cot\alpha=\frac xy=\frac12，不是正弦：正弦要除以 rr，sin⁡α=yr=25\sin\alpha=\frac yr=\frac{2}{\sqrt5}。

    3. 第 3 步第 3 步 分母有理化：

      上下同乘 5\sqrt5。

      ✗ 55\dfrac{\sqrt5}{5}：分子的 22 丢了：25⋅55=255\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}。

    结果：sin⁡α=255\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}

    P(−5,−12), cos⁡α, tan⁡αP(-5,-12),\ \cos\alpha,\ \tan\alpha

    1. 第 1 步第 1 步 算 rr：

      r=13r=13。

      ✗ 1717：5+12=175+12=17 不是 rr。r=25+144=169=13r=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13。

      ✗ 119\sqrt{119}：rr 里是 x2+y2x^2+y^2，是相加，不是 144−25144-25。

    2. 第 2 步第 2 步 cos⁡α=\cos\alpha=？

      cos⁡α=xr=−513\cos\alpha=\dfrac xr=-\dfrac5{13}。

      ✗ 513\dfrac{5}{13}：x=−5x=-5 是负数，符号要带上：−513\frac{-5}{13}。第三象限里余弦本来就是负的。

      ✗ −1213-\dfrac{12}{13}：这是 sin⁡α=yr\sin\alpha=\frac yr。余弦看 xx。

    3. 第 3 步第 3 步 tan⁡α=\tan\alpha=？

      tan⁡α=yx=−12−5=125\tan\alpha=\dfrac yx=\dfrac{-12}{-5}=\dfrac{12}{5}。

      ✗ −125-\dfrac{12}{5}：−12−5\frac{-12}{-5}：负负得正。第三象限里正切本来就是正的。

      ✗ 512\dfrac{5}{12}：tan⁡α=yx\tan\alpha=\frac yx，yy 在分子；xy\frac xy 是余切。

    结果：cos⁡α=−513, tan⁡α=125\cos\alpha=-\frac{5}{13},\ \tan\alpha=\frac{12}{5}

    P(3,−1), tan⁡α, sin⁡αP(3,-1),\ \tan\alpha,\ \sin\alpha

    1. 第 1 步第 1 步 象限：

      第四象限：只有 cos 为正，sin、tan 为负。

      ✗ 第二象限：第二象限是 x<0, y>0x<0,\ y>0。这里 x=3>0x=3>0，y=−1<0y=-1<0。

    2. 第 2 步第 2 步 tan⁡α=\tan\alpha=？

      tan⁡α=yx=−13\tan\alpha=\dfrac yx=-\dfrac13。

      ✗ −3-3：tan⁡α=yx=−13\tan\alpha=\frac yx=\frac{-1}{3}，不是 xy\frac xy。

      ✗ −1010-\dfrac{\sqrt{10}}{10}：这是 sin⁡α=yr\sin\alpha=\frac yr。正切不用 rr。

    3. 第 3 步第 3 步 sin⁡α=\sin\alpha=？（r=10r=\sqrt{10}）

      sin⁡α=−110=−1010\sin\alpha=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}。

      ✗ 1010\dfrac{\sqrt{10}}{10}：y=−1y=-1 是负数，第四象限里正弦是负的。

      ✗ −13-\dfrac13：这是 tan⁡α\tan\alpha。正弦要除以 rr：−110\frac{-1}{\sqrt{10}}。

    结果：tan⁡α=−13, sin⁡α=−1010\tan\alpha=-\frac13,\ \sin\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}

    P(x,4), cos⁡α=x5, α∈IIP(x,4),\ \cos\alpha=\frac{x}{5},\ \alpha\in\mathrm{II}

    1. 第 1 步第 1 步 第二象限里 xx 的符号：

      x<0x<0。

      ✗ 正：x>0x>0：第二象限在 yy 轴左边、xx 轴上方，x<0x<0，所以 cos⁡α<0\cos\alpha<0。

    2. 第 2 步第 2 步 由 xx2+16=x5\dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\dfrac x5 解 xx：

      x2+16=5\sqrt{x^2+16}=5，x2=9x^2=9，又 x<0x<0，x=−3x=-3。

      ✗ x=3x=3：x2=9x^2=9 有两个解 ±3\pm3，要靠第 1 步的 x<0x<0 取 −3-3。

      ✗ x=−5x=-5：55 是 rr，不是 xx：由 x2+16=5\sqrt{x^2+16}=5 得 x2=9x^2=9。

    3. 第 3 步第 3 步 tan⁡α=\tan\alpha=？

      tan⁡α=4−3=−43\tan\alpha=\dfrac{4}{-3}=-\dfrac43。

      ✗ 43\dfrac43：x=−3x=-3 是负的：4−3\frac{4}{-3}。第二象限里正切是负的。

      ✗ −34-\dfrac34：tan⁡α=yx\tan\alpha=\frac yx，y=4y=4 在分子。

    结果：x=−3, tan⁡α=−43x=-3,\ \tan\alpha=-\frac43

    4真题例题

    先自己做，再看拆解

    真题来源：CSCA 2026年1月数学真题

    若角 α\alpha 的终边经过点 P(1,3)P(1,3)，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）。

    先自己做，再看拆解

    模考来源：数学冲刺卷 · 批次 2 · 第 2 套

    设 aa 是第二象限角，P(x,4)P(x,4) 为其终边上的一点，且 cos⁡a=15x\cos a=\dfrac{1}{5}x ，则 tan⁡a\tan a 等于（ ）

    先自己做，再看拆解

    模考来源：数学冲刺卷 · 批次 2 · 第 1 套

    已知 cos⁡a=−45\cos a=-\dfrac{4}{5} ，tan⁡a<0\tan a<0 ，则 sin⁡a=\sin a=（ ）

    5常见错误

    答题数据：CSCA.app 学生在 2026-10-23 前 90 天内的作答记录。

    1. 拿坐标直接相比、拿熟悉的值去猜，或把 sin 和 cos 弄反

    数据显示：2026 年 6 月真题：点 P(1,2)P(1,2)，求 sin⁡α\sin\alpha。不到一半的同学选对。约五分之一的同学选了 12\frac12，那是余切 xy\frac xy，里面没有 rr；约五分之一选了 32\frac{\sqrt3}{2}，一个熟悉的特殊角的值，和这个点无关；约十分之一选了 55\frac{\sqrt5}{5}，那是 cos⁡α\cos\alpha。

    怎么避免：先写出 x=1, y=2, r=5x=1,\ y=2,\ r=\sqrt5 三个量，再问要的是哪个比：sin 是 yr\frac yr（竖直的 yy 在分子），cos 是 xr\frac xr，两个都要除以 rr。选项里出现 32\frac{\sqrt3}{2} 这样的熟悉值时，先想它和这个点有没有关系：r=5r=\sqrt5，算出来不会出现 3\sqrt3。

    用一道题检验一下

    真题来源：CSCA 2026年6月数学真题

    若点 P(1,2)P(1, 2) 在角 α\alpha 的终边上，则 sin⁡α=\sin \alpha =

    2. 没有先把 sin⁡(α+π2)\sin(\alpha+\frac\pi2) 化成 α\alpha 的函数

    数据显示：P(1,−2)P(1,-\sqrt2)，求 sin⁡(α+π2)\sin(\alpha+\frac\pi2)：约三分之一的同学选对。超过三分之一的同学选了 ±63\pm\frac{\sqrt6}{3}，也就是 sin⁡α\sin\alpha 本身或它的相反数，好像括号里的 +π2+\frac\pi2 不存在；另有近三成选了 −33-\frac{\sqrt3}{3}，大小对了，符号错了。

    怎么避免：括号里的 α+π2\alpha+\frac\pi2 不能直接代入点的坐标：先用诱导公式化成 α\alpha 的函数，sin⁡(α+π2)=cos⁡α\sin(\alpha+\frac\pi2)=\cos\alpha，再用 cos⁡α=xr\cos\alpha=\frac xr。这里 x=1>0x=1>0，所以结果是正数。

    用一道题检验一下

    模考来源：数学模拟卷 1

    若角 aa 的终边过点 P(1,−2)P ( 1 , - \sqrt { 2 } ) ，则 sin⁡(a+π2)=\sin \left( a + \frac { \pi } { 2 } \right) =

    3. 反求坐标：没有先化简，也没有用象限定符号

    数据显示：P(−22,y)P(-2\sqrt2,y)，且 cos⁡(α+π2)=−33\cos(\alpha+\frac\pi2)=-\frac{\sqrt3}{3}，求 yy：只有约四分之一的同学选对（y=2y=2）；约四成选了 2\sqrt2，另有约四分之一选了 −2-\sqrt2。

    怎么避免：三步：①先化简 cos⁡(α+π2)=−sin⁡α\cos(\alpha+\frac\pi2)=-\sin\alpha，得 sin⁡α=33>0\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}>0，所以 y>0y>0；②写出定义 y8+y2=33\dfrac{y}{\sqrt{8+y^2}}=\dfrac{\sqrt3}{3}；③平方：3y2=8+y23y^2=8+y^2，y2=4y^2=4，y=2y=2。最后可以代回去检验。

    用一道题检验一下

    模考来源：数学模拟卷 1

    若点 P(−22,y)P ( - 2 \sqrt { 2 } , y ) 是角 aa 终边上一点，且 cos⁡(a+π2)=−33\cos \left( a + \frac { \pi } { 2 } \right) = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ，则 yy 的值为（ ）

    6分级练习

    第 1 / 4 题

    模考来源：数学模拟卷 15

    已知角 α\alpha 的终边经过点 (3,−1)(3,-1)，则 tan⁡α=\tan\alpha=
    本组答对 0 / 4

    7掌握检测

    5 道题，答对 4 道算掌握。中途不看解析，做完一起看。

    先学这些

    平面直角坐标系中的象限

    概念与公式

    同角三角函数基本关系

    接着学

    三角函数诱导公式二倍角公式

    章节练习

    还想多练：去练习区