函数的奇偶性

第 1 步第 1 步 看定义域：$x\neq0$，关于原点对称吗？

对称，可以往下算。

✗ 不对称，因为 $0$ 取不到：去掉的 $0$ 正好是原点，剩下 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 仍然左右对称。

第 2 步第 2 步 算 $f(-x)$：

$f(-x)=-x-\frac1x$。

✗ $-x+\dfrac1x$：分母里的 $x$ 也要换：$\frac{1}{-x}=-\frac1x$。

✗ $x+\dfrac1x$：这是 $f(x)$ 本身。要把每个 $x$ 都换成 $-x$，不是不换。

第 3 步第 3 步 比较：

奇函数。

✗ $f(-x)=f(x)$：偶函数：$-x-\frac1x=-\left(x+\frac1x\right)$，是 $f(x)$ 的相反数，不是相等。

✗ 非奇非偶：它满足 $f(-x)=-f(x)$，只要有一个成立就有奇偶性。

第 1 步第 1 步 看定义域：$[0,+\infty)$，关于原点对称吗？

定义域不对称。

✗ 对称，因为包含 $0$：对称看的是“$x$ 在，$-x$ 也在”，不是有没有 $0$。$x=2$ 时 $-2$ 就不在了。

第 2 步第 2 步 结论：

定义域不对称，直接非奇非偶。

✗ 偶函数，因为 $\sqrt{(-x)^2}=\sqrt{x^2}$：那是 $\sqrt{x^2}=|x|$，另一个函数。$\sqrt{x}$ 在 $x<0$ 时根本没有定义，没法比较 $f(-x)$ 和 $f(x)$。

第 1 步第 1 步 看定义域：

定义域是 $\mathbb{R}$。

✗ 要排除 $x=-1$：$x^3+1$ 对任何实数都有意义，定义域是 $\mathbb{R}$。$x=-1$ 只是它的零点。

第 2 步第 2 步 算 $f(-x)$：

$f(-x)=-x^3+1$。

✗ $-x^3-1$：负号只作用在 $x^3$ 上：$(-x)^3=-x^3$，常数项 $1$ 不会变号。

第 3 步第 3 步 比较：$f(x)=x^3+1$，$-f(x)=-x^3-1$

非奇非偶：和 $x^4+3$（偶）、$x^3$（奇）都不一样。

✗ 奇函数：$-x^3+1\ne-x^3-1$。常数项 $1$ 破坏了奇函数。

✗ 偶函数：$-x^3+1\ne x^3+1$。

第 1 步第 1 步 看定义域：

$x^2>0$ 即 $x\neq0$，对称。

✗ $x>0$，不对称：要的是 $x^2>0$，不是 $x>0$：$x$ 为负数时 $x^2$ 也是正的。

第 2 步第 2 步 算 $f(-x)$：

$f(-x)=\ln((-x)^2)=\ln(x^2)=f(x)$。

✗ $-\ln(x^2)$：$(-x)^2=x^2$：平方把负号吃掉了，没有变号。

第 3 步第 3 步 结论：

偶函数。

✗ 奇偶性不确定：每个函数的奇偶性都是确定的：算出 $f(-x)=f(x)$，就是偶函数。

第 1 步第 1 步 看定义域：

定义域 $\mathbb{R}$。

✗ 要限制 $\sin x$ 的范围：$\sin x$ 取任何值，$\cos$ 都有意义，定义域是 $\mathbb{R}$。

第 2 步第 2 步 算 $f(-x)=\cos(\sin(-x))=\cos(-\sin x)=$？

$\cos(-\sin x)=\cos(\sin x)$。

✗ $-\cos(\sin x)$：$\cos$ 是偶函数：$\cos(-t)=\cos t$，负号不会提到外面。

第 3 步第 3 步 结论：

偶函数。

✗ 奇函数，因为里面的 $\sin x$ 是奇函数：里面是奇，不代表整体是奇：要看外层。外层 $\cos$ 是偶函数，把符号吃掉了，整体是偶。偶(奇($x$))＝偶。