向量及其数量积

真题怎么考

下面是考过这个概念的 CSCA 真题。先自己做一遍，再展开看答案和解析。

1. CSCA 2025年12月数学真题
   坐标原点为 $O$，$A$ 和 $B$ 是平面上的两个点，点 $P$ 位于线段 $AB$ 的中点，则向量 $\overrightarrow{OP}$ 可以表示为（ ）。
   • A．$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
   • B．$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
   • C．$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
   • D．$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
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   答案：C

   答案：C $P$ 为 $AB$ 中点，所以 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$。因此选 C。
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2. CSCA 2026年6月数学真题
   已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 1$，$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$，且 $\vec{c} = \lambda \vec{a} + (1 - \lambda)\vec{b}$（$\lambda \in \mathbb{R}$），则 $|\vec{c}|$ 的最小值为
   • A．$\frac{1}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$1$
   • D．$\frac{\sqrt{2}}{2}$
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   答案：A

   $|\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2 + (1 - \lambda)^2 |\vec{b}|^2 + 2\lambda(1 - \lambda)\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda^2 + (1 - \lambda)^2 - \lambda(1 - \lambda) = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1$。这是关于 $\lambda$ 的二次函数，在 $\lambda = \frac{1}{2}$ 处取最小值 $\frac{1}{4}$，故 $|\vec{c}|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$，选 A。
   计时做完整套：CSCA 2026年6月数学真题