正弦定理zhèngxián dìnglǐ

Khái niệm cơ bản Định lý Sin là công cụ quan trọng để giải tam giác, mô tả mối quan hệ tỷ lệ giữa độ dài các cạnh và sin của các góc đối diện.

Phát biểu định lý Trong $\triangle ABC$, giả sử $a, b, c$ là các cạnh đối diện với các góc $A, B, C$ tương ứng, và $R$ là bán kính ngoại tiếp: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ ## Chứng minh định lý

Phương pháp 1: Phương pháp diện tích Hãy gọi $S$ là diện tích của $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ Từ hai biểu thức đầu tiên: $bc\sin A = ac\sin B$ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ Các mối quan hệ khác có thể được chứng minh tương tự.

Phương pháp 2: Phương pháp đường tròn ngoại tiếp Hãy gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của $\triangle ABC$. Vẽ đường kính $AD$ qua điểm $A$, nối $BD$.

Vì $\angle ABD = 90°$ (góc trong nửa đường tròn) và $\angle D = \angle C$ (các góc được tạo bởi cùng một cung): $\sin C = \sin D = \frac{AB}{AD} = \frac{c}{2R}$ Do đó: $\frac{c}{\sin C} = 2R$ Các mối quan hệ khác được suy ra tương tự.

Ứng dụng ### 1. Cho hai góc và một cạnh (AAS/ASA) Ví dụ: Trong $\triangle ABC$, $A = 60°$, $B = 45°$, $a = \sqrt{3}$, tìm $b$.

Giải pháp: $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$ $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \sqrt{2}$ ### 2. Cho hai cạnh và một góc (SSA) Ví dụ: Trong $\triangle ABC$, $a = 8$, $b = 7$, $A = 60°$, tìm $B$. Giải pháp: $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60°}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{16}$ Lưu ý: Trường hợp này có thể có hai giải pháp (trường hợp mơ hồ) ### 3. Chuyển đổi cạnh-góc Từ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ ## Số giải pháp (trường hợp SSA) Cho $a, b, A$, tìm $B$ khi $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$:

1. Không có giải pháp: $\frac{b\sin A}{a} > 1$ 2. Một giải pháp: - $\frac{b\sin A}{a} = 1$ (khi $B = 90°$) - $b \geq a$ (B là duy nhất)
2. Hai giải pháp: $\frac{b\sin A}{a} < 1$ và $b < a$ (một góc nhọn, một góc tù) ## Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập sau đây được thiết kế theo chương trình thi CSCA và định dạng thi chuẩn hóa của Trung Quốc.

[Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★★☆☆) Trong $\triangle ABC$, $a = 3$, $b = 5$, $\sin A = \frac{1}{3}$, tìm $\sin B$.

Giải pháp: Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{5 \cdot \frac{1}{3}}{3} = \frac{5}{9}$ Câu trả lời: $\sin B = \frac{5}{9}$ ## Những hiểu lầm phổ biến ### ❌ Hiểu lầm 1: Quên kiểm tra số lượng giải pháp

Sai: Không kiểm tra xem có 0, 1 hay 2 giải pháp trong trường hợp SSA Đúng: Phải phân tích các điều kiện để xác định số lượng giải pháp ### ❌ Sai lầm 2: Công thức bán kính ngoại tiếp sai Sai: $\frac{a}{\sin A} = R$

Đúng: $\frac{a}{\sin A} = 2R$ ## Mẹo học tập 1. ✅ Hiểu bản chất: Các cạnh tỷ lệ thuận với sin của các góc đối diện 2. ✅ Học thuộc lòng công thức: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ 3. ✅ Nắm vững ứng dụng: Các trường hợp AAS, ASA, SSA 4. ✅ Kiểm tra số lượng giải pháp: Đặc biệt đối với trường hợp SSA --- 💡 Mẹo thi: Định lý sin là công cụ cơ bản để giải tam giác, bắt buộc trong các kỳ thi CSCA! Chiếm khoảng 50% các bài toán giải tam giác