正弦函数zhèngxián hánshù

Khái niệm cơ bản Hàm sin là một trong những hàm lượng giác cơ bản, mô tả mối quan hệ giữa một góc và tỷ lệ giữa cạnh đối diện với cạnh huyền trong tam giác vuông. Trên đường tròn đơn vị, hàm sin biểu diễn tọa độ y của một điểm.

Định nghĩa toán học Trong tam giác vuông, đối với góc nhọn $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$ Trên đường tròn đơn vị, nếu góc $\alpha$ kết thúc tại điểm $P(x, y)$: $\sin \alpha = y$

Hình thức hàm $y = \sin x, \quad x \in \mathbb{R}$ ## Đồ thị và tính chất ### Tính chất cơ bản 1. Định nghĩa: $\mathbb{R}$ (tất cả các số thực) 2. Giá trị: $[-1, 1]$ 3. Khoảng lặp: $T = 2\pi$ 4. Độ chẵn lẻ: Hàm lẻ, $\sin(-x) = -\sin x$ 5. Đối xứng: - Đối xứng qua gốc tọa độ - Đối xứng qua các đường $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Tính đơn điệu - Khoảng tăng: $\left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$) - Khoảng giảm: $\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Giá trị đặc biệt | Góc | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |

|-------|-----|----------------|----------------|----------------|----------------|------| | $\sin$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | ### Giá trị cực đoan

• Giá trị cực đại: $1$, tại $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) - Giá trị cực tiểu: $-1$, tại $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Công thức quan trọng ### Công thức cơ bản $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ### Công thức rút gọn - $\sin(\pi - x) = \sin x$ - $\sin(\pi + x) = -\sin x$ - $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ - $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ - $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

Công thức tổng và hiệu $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ### Công thức góc đôi $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ ## Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế theo chương trình thi CSCA và định dạng thi chuẩn hóa của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi thi và chiến lược giải quyết vấn đề.

[Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆) Cho $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ và $\alpha$ nằm trong góc thứ hai, tìm $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.

Giải pháp: Từ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ hai, $\cos \alpha < 0$: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

Câu trả lời: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ --- ### [Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $y = 2\sin x + 1$ trên $[0, 2\pi]$.

Giải pháp: Vì $\sin x \in [-1, 1]$: Giá trị lớn nhất: Khi $\sin x = 1$ (tại $x = \frac{\pi}{2}$), $y_{max} = 2 \times 1 + 1 = 3$

Giá trị nhỏ nhất: Khi $\sin x = -1$ (tại $x = \frac{3\pi}{2}$), $y_{min} = 2 \times (-1) + 1 = -1$ Câu trả lời: Giá trị lớn nhất là $3$, giá trị nhỏ nhất là $-1$

Những hiểu lầm phổ biến ### ❌ Hiểu lầm 1: Nhầm lẫn về chu kỳ Sai: Nghĩ rằng hàm sin có chu kỳ $\pi$ Đúng: Hàm sin có chu kỳ $2\pi$, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$

❌ Sai lầm 2: Quên xem xét các góc phần tư Sai: Từ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ trực tiếp kết luận $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ Đúng: Phải xác định dấu của $\cos \alpha$ dựa trên góc phần tư ## Mẹo học tập

1. ✅ Ghi nhớ các giá trị đặc biệt: Giá trị sin của $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ 2. ✅ Hiểu đồ thị: Vẽ và hiểu tính chu kỳ và đối xứng 3. ✅ Nắm vững công thức: Công thức giảm, công thức tổng/hiệu, công thức góc đôi
2. ✅ Phân biệt các góc phần tư: Giá trị sin có dấu khác nhau trong các góc phần tư khác nhau --- 💡 Mẹo thi: Hàm sin là cốt lõi của lượng giác, chiếm khoảng 40% câu hỏi lượng giác trong các kỳ thi CSCA. Phải được hiểu rõ và nắm vững!