指数函数zhǐshù hánshù

Khái niệm cốt lõi

Hàm số mũ là hàm số có dạng:

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Trong đó:

• $a$ là cơ số (phải là số dương và khác 1)
• $x$ là số mũ (biến số)

Phân biệt quan trọng với hàm lũy thừa: Trong hàm số mũ, biến nằm ở vị trí số mũ; trong hàm lũy thừa $x^n$, biến nằm ở vị trí cơ số.

Tập xác định và tập giá trị

• Tập xác định: $\mathbb{R}$ (tất cả các số thực)
• Tập giá trị: $(0, +\infty)$ (tất cả các số thực dương)

Lưu ý: $a^x > 0$ với mọi số thực $x$ khi $a > 0$.

Tính chất cơ bản

1. Đi qua điểm (0, 1)

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{với mọi } a > 0$

Mọi hàm số mũ đều đi qua điểm $(0, 1)$.

2. Luôn dương

$a^x > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}$

3. Tính đơn điệu

• Nếu $a > 1$: $f(x) = a^x$ đồng biến (tăng nghiêm ngặt)
• Nếu $0 < a < 1$: $f(x) = a^x$ nghịch biến (giảm nghiêm ngặt)

4. Quy tắc lũy thừa

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

Đặc điểm đồ thị

Khi $a > 1$ (ví dụ: $y = 2^x$)

• Tăng từ trái sang phải
• Tiến đến 0 khi $x \to -\infty$
• Tăng không giới hạn khi $x \to +\infty$
• Đường tiệm cận ngang: $y = 0$

Khi $0 < a < 1$ (ví dụ: $y = (1/2)^x$)

• Giảm từ trái sang phải
• Tăng không giới hạn khi $x \to -\infty$
• Tiến đến 0 khi $x \to +\infty$
• Đường tiệm cận ngang: $y = 0$

So sánh giá trị

Khi $a > 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

Khi $0 < a < 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

Mẹo ghi nhớ: "Cơ số > 1: số mũ lớn hơn thì giá trị lớn hơn; Cơ số < 1: số mũ lớn hơn thì giá trị nhỏ hơn"

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập sau được thiết kế theo chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

So sánh các giá trị: $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$.

Lời giải: Vì cơ số $2 > 1$ nên $y = 2^x$ là hàm đồng biến.

Vì $0.5 > 0.3 > -0.1$: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

Đáp án: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

---

Ví dụ 2: Trung bình (Độ khó ★★★☆☆)

So sánh: $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$.

Lời giải:

Với $0.5^{-0.1}$ và $0.5^{0.1}$: Vì $0 < 0.5 < 1$ nên $y = 0.5^x$ là hàm nghịch biến. Vậy $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$.

Với $0.5^{0.1}$: $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$.

Với $1.5^{0.1}$: Vì $1.5 > 1$ và $0.1 > 0$ nên $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$.

Với $0.5^{-0.1}$: Bằng $2^{0.1} > 1$.

So sánh $2^{0.1}$ và $1.5^{0.1}$: Vì $2 > 1.5$ và số mũ dương: $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

Đáp án: $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Tìm tập giá trị của $f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$.

Lời giải:

Đặt $t = 2^x$. Vì $x \in [-1, 2]$: $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

Ta có $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ và $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$.

Vậy: $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

Với $t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$:

• Giá trị nhỏ nhất tại $t = 1$: $f = 0 + 1 = 1$
• Kiểm tra điểm đầu mút:
  • Tại $t = \dfrac{1}{2}$: $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • Tại $t = 4$: $f = 16 - 8 + 2 = 10$

Tập giá trị: $[1, 10]$

Hàm số mũ đặc biệt

Hàm số mũ tự nhiên

$f(x) = e^x \quad \text{trong đó } e \approx 2.71828$

Đây là hàm số mũ quan trọng nhất trong giải tích vì $(e^x)' = e^x$.

Các lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm lẫn với hàm lũy thừa

Sai: $x^2$ là hàm số mũ ✗

Đúng: $2^x$ là hàm số mũ (biến ở số mũ), $x^2$ là hàm lũy thừa ✓

❌ Lỗi 2: Sai chiều bất đẳng thức

Sai: Vì $0.5 < 1$ nên $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

Đúng: Với $0 < a < 1$, số mũ lớn hơn cho giá trị nhỏ hơn: $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ Lỗi 3: Quên rằng $a^x > 0$

Sai: Phương trình $2^x = -1$ có nghiệm ✗

Đúng: Với mọi $x$, $2^x > 0$, nên phương trình vô nghiệm. ✓

Mẹo học tập

1. ✅ Nắm vững hai trường hợp: $a > 1$ (đồng biến) vs $0 < a < 1$ (nghịch biến)
2. ✅ Sử dụng phép đặt ẩn phụ: Đặt $t = a^x$ để chuyển về phương trình đại số
3. ✅ Nhớ đường tiệm cận: $y = 0$ luôn là đường tiệm cận ngang
4. ✅ Kiểm tra vị trí biến: Biến ở số mũ = hàm số mũ

---

💡 Mẹo thi: Khi giải phương trình mũ, sử dụng phép đặt $t = a^x$ để chuyển về phương trình đại số. Nhớ rằng $t > 0$!