对数函数duìshù hánshù

Khái niệm cốt lõi

Hàm logarit là hàm nghịch đảo của hàm mũ, có dạng $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$).

Định nghĩa

Nếu $a^y = x$ ($a > 0, a \neq 1$), thì $y$ được gọi là logarit của $x$ theo cơ số $a$: $y = \log_a x$

Địa điểm:

• $a$ là cơ sở
• $x$ là tham số
• $y$ là logarit

Thuộc tính

1. Vùng định nghĩa và vùng giá trị

• Tên miền: $(0, +\infty)$
• Mã sản phẩm: $\mathbb{R}$

2. Điểm cố định

Tất cả các hàm logarit đều đi qua điểm $(1, 0)$: $\log_a 1 = 0$

3. Tính đơn điệu

• Khi $a > 1$: $y = \log_a x$ tăng so với $(0, +\infty)$
• Khi $0 < a < 1$: $y = \log_a x$ đang giảm trên $(0, +\infty)$

Các định luật về logarit

Đối với $a > 0, a \neq 1$; $M > 0, N > 0$:

1. Quy tắc nhân

$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$

2. Quy tắc thương

$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

3. Quy tắc lũy thừa

$\log_a M^n = n\log_a M$

4. Thay đổi công thức cơ bản

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

5. Mối quan hệ tương hỗ

$\log_a b \cdot \log_b a = 1$

6. Quy tắc chuỗi

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

Các hàm logarit đặc biệt

Logarit tự nhiên

Hệ thập phân, ký hiệu là $\lg x$: $\lg x = \log_{10} x$

Logarit tự nhiên

Mẫu cơ sở $e$ ($e \approx 2.71828$), được ký hiệu là $\ln x$: $\ln x = \log_e x$

Các bài tập thực hành CSCA

[Ví dụ 1] Căn bản (Mức độ khó ★★☆☆☆)

Tính toán: $\log_2 8 + \log_3 27$

Giải pháp: $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$ $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$ $\text{Answer: } 6$

Những quan niệm sai lầm phổ biến

❌ Nhận thức sai lầm 1: Áp dụng sai quy luật logarit

Sai: $\log_a (M + N) = \log_a M + \log_a N$

Đúng: $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ (quy tắc sản phẩm)

❌ Quan niệm sai lầm thứ 2: Quên rằng luận điểm phải mang tính tích cực

Sai: $\log_2 (-4)$ đã được định nghĩa

Đúng: Đối số phải là $> 0$, do đó $\log_2 (-4)$ là giá trị không được định nghĩa

Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu định nghĩa: Lôgarit là hàm nghịch đảo của hàm mũ
2. ✅ Học thuộc lòng các quy tắc: Sản, thương, lũy thừa, thay đổi cơ số
3. ✅ Kiểm tra tên miền: Đối số $> 0$, cơ sở $> 0$ và $\neq 1$
4. ✅ Thực hành: Nắm vững các kỹ thuật tính toán

---

💡 Mẹo làm bài thi: Hàm logarit là nội dung bắt buộc trong kỳ thi CSCA! Phải nắm vững các quy tắc về logarit. Phần này chiếm khoảng 20% số câu hỏi về hàm số.