Vectors and the Dot Product

Đề thi thật hỏi khái niệm này thế nào

Các câu hỏi trong đề thi CSCA thật có kiểm tra khái niệm này. Hãy tự làm trước khi mở đáp án.

1. CSCA Math December 2025 Past Paper
   Let $O$ be the origin, and let $A$ and $B$ be two points in the plane. If $P$ is the midpoint of $AB$, which expression can represent $\overrightarrow{OP}$?
   • A．$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
   • B．$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
   • C．$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
   • D．$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
   Xem đáp án và lời giải

   Đáp án: C

   Answer: C Since $P$ is the midpoint of $AB$, $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Choose C.
   Xem trong toàn bộ CSCA Math December 2025 Past Paper
2. CSCA Math June 2026 Past Paper
   Given that plane vectors $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ satisfy $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$, and $\vec{c} = \lambda \vec{a} + (1 - \lambda)\vec{b}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$), then the minimum value of $|\vec{c}|$ is
   • A．$\frac{1}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$1$
   • D．$\frac{\sqrt{2}}{2}$
   Xem đáp án và lời giải

   Đáp án: A

   $|\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2 + (1 - \lambda)^2 |\vec{b}|^2 + 2\lambda(1 - \lambda)\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda^2 + (1 - \lambda)^2 - \lambda(1 - \lambda) = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1$. This quadratic in $\lambda$ attains its minimum $\frac{1}{4}$ at $\lambda = \frac{1}{2}$, so the minimum of $|\vec{c}|$ is $\frac{1}{2}$. Choose (A).
   Làm trọn bộ CSCA Math June 2026 Past Paper — có bấm giờ và chấm điểm