奇偶性qī'ǒuxìng

Konsep Pokok

Paritas menggambarkan sifat simetri suatu fungsi. Suatu fungsi dapat bersifat genap, ganjil, atau tidak termasuk keduanya.

Prasyarat: Agar suatu fungsi memiliki paritas, domainnya harus simetris terhadap titik asal (jika $x$ termasuk dalam domain, maka $-x$ juga harus termasuk dalam domain).

Definisi

Fungsi Genap (Fungsi Genap)

Suatu fungsi $f$ dikatakan genap jika: $f(-x) = f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Sifat grafik: Grafik tersebut simetris terhadap sumbu y.

Fungsi Ganjil (奇函数)

Suatu fungsi $f$ dikatakan ganjil jika: $f(-x) = -f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

Sifat grafik: Grafik tersebut simetris terhadap titik asal.

Sifat Khusus Fungsi Ganjil

Jika $f$ ganjil dan $0$ termasuk dalam domain tersebut, maka $f(0) = 0$.

Bukti: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, sehingga $2f(0) = 0$, dan karenanya $f(0) = 0$.

Fungsi-Fungsi Umum dan Paritasnya

Fungsi	Paritas	Verifikasi
$y = x^n$ (bahkan $n$)	Bahkan	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ ganjil)	Aneh	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	Bahkan	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	Aneh	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Bahkan	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Aneh	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Keduanya tidak	$a^{-x} \neq a^x$ dan $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Keduanya tidak	Domain tidak simetris

Metode untuk Menentukan Paritas

Proses Langkah demi Langkah

1. Periksa simetri domain: Apakah $-x$ selalu berada di domain jika $x$ berada di sana?
2. Hitung $f(-x)$: Masukkan $-x$ ke dalam fungsi tersebut
3. Bandingkan dengan $f(x)$ dan $-f(x)$:
   • Jika $f(-x) = f(x)$ → Genap
   • Jika $f(-x) = -f(x)$ → Ganjil
   • Jika tidak → Tidak juga

Contoh 1: Fungsi Genap

Tentukan paritas dari $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Langkah 1: Domainnya adalah $\mathbb{R}$, yang simetris terhadap titik asal. ✓

Langkah 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Kesimpulan: $f$ merata.

Contoh 2: Fungsi Ganjil

Tentukan paritas dari $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Langkah 1: Domainnya adalah $\mathbb{R}$, simetris terhadap titik asal. ✓

Langkah 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Kesimpulan: $f$ itu aneh.

Contoh 3: Keduanya tidak

Tentukan paritas dari $f(x) = x + 1$.

Langkah 1: Domainnya adalah $\mathbb{R}$, simetris. ✓

Langkah 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Sejak $f(-x) \neq f(x)$ dan $f(-x) \neq -f(x)$:

Kesimpulan: $f$ bukan bilangan genap maupun ganjil.

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan paritas dari $f(x) = x^3 - x$.

Solusi: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Jawaban: Fungsi ganjil

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $f(x)$ merupakan fungsi ganjil dan $f(2) = 3$, tentukan nilai $f(-2) + f(0)$.

Solusi:

Karena $f$ adalah bilangan ganjil:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (sifat fungsi ganjil)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Jawaban: $-3$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ merupakan fungsi ganjil, tentukan nilai-nilai $b$ dan $d$.

Solusi:

Untuk fungsi ganjil: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Perbandingan: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Untuk itu diperlukan: $bx^2 = -bx^2$ dan $d = -d$

Oleh karena itu: $b = 0$ dan $d = 0$

Jawaban: $b = 0$, $d = 0$

---

Contoh 4: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$, buktikan bahwa $f(x)$ ganjil.

Solusi:

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

Sekarang hitung $f(x) + f(-x)$: $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

Oleh karena itu: $f(-x) = -f(x)$

Kesimpulan: $f(x)$ itu aneh.

Paritas dan Operasi

Jumlah Fungsi

$f$	$g$	$f + g$
Bahkan	Bahkan	Bahkan
Aneh	Aneh	Aneh
Bahkan	Aneh	Keduanya tidak (secara umum)

Hasil Kali Fungsi

$f$	$g$	$f \cdot g$
Bahkan	Bahkan	Bahkan
Aneh	Aneh	Bahkan
Bahkan	Aneh	Aneh

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Mengabaikan Simetri Domain

Salah: $f(x) = \sqrt{x}$ genap karena $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Benar: Domain $[0, +\infty)$ tidak simetris terhadap titik asal, sehingga paritasnya tidak terdefinisi. ✓

❌ Kesalahan 2: Melupakan $f(0) = 0$ untuk Fungsi Ganjil

Jika $f$ ganjil dan telah ditentukan nilainya pada $x = 0$, maka $f(0) = 0$.

❌ Kesalahan ke-3: Hanya Memeriksa Satu Nilai

Salah: $f(1) = f(-1)$, jadi $f$ juga genap. ✗

Benar: Harus memverifikasi $f(-x) = f(x)$ untuk SEMUA $x$ di domain. ✓

Tips Belajar

1. ✅ Periksa domain terlebih dahulu: Harus simetris terhadap titik asal
2. ✅ Gunakan verifikasi aljabar: Jangan hanya mengandalkan grafik saja
3. ✅ Ingat sifat khusus: Fungsi ganjil melewati titik asal
4. ✅ Ketahui aturan permainan: ganjil × ganjil = genap

---

💡 Tips Ujian: Untuk polinomial, fungsi ganjil hanya memiliki suku-suku berderajat ganjil, sedangkan fungsi genap hanya memiliki suku-suku berderajat genap!