奇偶性qī'ǒuxìng

Konsep Dasar

Paritas menjelaskan sifat simetri suatu fungsi. Suatu fungsi dapat bersifat genap, ganjil, atau bukan keduanya.

Prasyarat: Agar suatu fungsi memiliki paritas, domainnya harus simetris terhadap titik asal (jika $x$ termasuk dalam domain, maka $-x$ juga harus termasuk dalam domain).

Definisi

Fungsi Genap (偶函数)

Suatu fungsi $f$ disebut genap jika: $f(-x) = f(x) \quad \text{untuk semua } x \text{ dalam domain}$

Sifat grafik: Grafik simetris terhadap sumbu-y.

Fungsi Ganjil (奇函数)

Suatu fungsi $f$ disebut ganjil jika: $f(-x) = -f(x) \quad \text{untuk semua } x \text{ dalam domain}$

Sifat grafik: Grafik simetris terhadap titik asal.

Sifat Khusus Fungsi Ganjil

Jika $f$ ganjil dan $0$ termasuk dalam domain, maka $f(0) = 0$.

Bukti: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, maka $2f(0) = 0$, sehingga $f(0) = 0$.

Fungsi Umum dan Paritasnya

Fungsi	Paritas	Verifikasi
$y = x^n$ ($n$ genap)	Genap	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ ganjil)	Ganjil	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	Ganjil	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	Genap	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	Ganjil	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	Bukan keduanya	$a^{-x} \neq a^x$ dan $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	Bukan keduanya	Domain tidak simetris

Metode Menentukan Paritas

Proses Langkah demi Langkah

1. Periksa simetri domain: Apakah $-x$ ada dalam domain ketika $x$ ada?
2. Hitung $f(-x)$: Substitusi $-x$ ke dalam fungsi
3. Bandingkan dengan $f(x)$ dan $-f(x)$:
   • Jika $f(-x) = f(x)$ → Genap
   • Jika $f(-x) = -f(x)$ → Ganjil
   • Selainnya → Bukan genap maupun ganjil

Contoh 1: Fungsi Genap

Tentukan paritas dari $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Langkah 1: Domain adalah $\mathbb{R}$, simetris terhadap titik asal. ✓

Langkah 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

Kesimpulan: $f$ adalah fungsi genap.

Contoh 2: Fungsi Ganjil

Tentukan paritas dari $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.

Langkah 1: Domain adalah $\mathbb{R}$, simetris terhadap titik asal. ✓

Langkah 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

Kesimpulan: $f$ adalah fungsi ganjil.

Contoh 3: Bukan Keduanya

Tentukan paritas dari $f(x) = x + 1$.

Langkah 1: Domain adalah $\mathbb{R}$, simetris. ✓

Langkah 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

Karena $f(-x) \neq f(x)$ dan $f(-x) \neq -f(x)$:

Kesimpulan: $f$ bukan fungsi genap maupun ganjil.

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan paritas dari $f(x) = x^3 - x$.

Penyelesaian: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

Jawaban: Fungsi ganjil

---

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $f(x)$ adalah fungsi ganjil dan $f(2) = 3$, tentukan $f(-2) + f(0)$.

Penyelesaian:

Karena $f$ ganjil:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (sifat fungsi ganjil)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

Jawaban: $-3$

---

Contoh 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Jika $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ adalah fungsi ganjil, tentukan nilai $b$ dan $d$.

Penyelesaian:

Untuk fungsi ganjil: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Perbandingan: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

Syarat: $bx^2 = -bx^2$ dan $d = -d$

Oleh karena itu: $b = 0$ dan $d = 0$

Jawaban: $b = 0$, $d = 0$

Paritas dan Operasi

Penjumlahan Fungsi

$f$	$g$	$f + g$
Genap	Genap	Genap
Ganjil	Ganjil	Ganjil
Genap	Ganjil	Bukan keduanya (umumnya)

Perkalian Fungsi

$f$	$g$	$f \cdot g$
Genap	Genap	Genap
Ganjil	Ganjil	Genap
Genap	Ganjil	Ganjil

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Mengabaikan Simetri Domain

Salah: $f(x) = \sqrt{x}$ adalah genap karena $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

Benar: Domain $[0, +\infty)$ tidak simetris terhadap titik asal, sehingga paritas tidak terdefinisi. ✓

❌ Kesalahan 2: Lupa $f(0) = 0$ untuk Fungsi Ganjil

Jika $f$ ganjil dan terdefinisi di $x = 0$, maka $f(0) = 0$.

❌ Kesalahan 3: Hanya Memeriksa Satu Nilai

Salah: $f(1) = f(-1)$, jadi $f$ genap. ✗

Benar: Harus memverifikasi $f(-x) = f(x)$ untuk SEMUA $x$ dalam domain. ✓

Tips Belajar

1. ✅ Periksa domain terlebih dahulu: Simetri terhadap titik asal diperlukan
2. ✅ Gunakan verifikasi aljabar: Jangan hanya mengandalkan grafik
3. ✅ Ingat sifat khusus: Fungsi ganjil melewati titik asal
4. ✅ Ketahui aturan perkalian: ganjil × ganjil = genap

---

💡 Tips Ujian: Untuk polinomial, fungsi ganjil hanya memiliki suku berpangkat ganjil dan fungsi genap hanya memiliki suku berpangkat genap!