Konsep Inti
**Identitas Trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri yang benar untuk semua nilai dalam domainnya. Menguasai identitas ini adalah kunci untuk mempelajari trigonometri.
Identitas Dasar
Identitas Pythagoras
sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha 1 + tan 2 α = sec 2 α
Identitas Hasil Bagi
tan α = sin α cos α \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tan α = c o s α s i n α
Rumus Pengurangan
Sudut Negatif
sin ( − α ) = − sin α \sin(-\alpha) = -\sin\alpha sin ( − α ) = − sin α cos ( − α ) = cos α \cos(-\alpha) = \cos\alpha cos ( − α ) = cos α
Sudut Komplementer
sin ( π 2 − α ) = cos α \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha sin ( 2 π − α ) = cos α cos ( π 2 − α ) = sin α \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha cos ( 2 π − α ) = sin α
Sudut Pelengkap
sin ( π − α ) = sin α \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha cos ( π − α ) = − cos α
Rumus Jumlah dan Selisih
Sinus
sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
Cosinus
cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Tangen
tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} tan ( α ± β ) = 1 ∓ t a n α t a n β t a n α ± t a n β
Rumus Sudut Ganda
Sinus
sin 2 α = 2 sin α cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α
Cosinus
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
** Rumus Pengurang Daya**:
cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} cos 2 α = 2 1 + c o s 2 α sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} sin 2 α = 2 1 − c o s 2 α
Tangen
__ RUMUS_MATEMATIKA_16__
Rumus Sudut Bantu
a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + φ ) a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi) a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + φ )
di mana tan φ = b a \tan\varphi = \frac{b}{a} tan φ = a b
Soal-soal Latihan CSCA
[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)
Sederhanakan: sin 2 α + cos 2 α + tan 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \tan^2\alpha sin 2 α + cos 2 α + tan 2 α
Solusi :
sin 2 α + cos 2 α + tan 2 α = 1 + tan 2 α = sec 2 α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \tan^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha sin 2 α + cos 2 α + tan 2 α = 1 + tan 2 α = sec 2 α
Jawaban : sec 2 α \sec^2\alpha sec 2 α
[Contoh 2] Menengah (Tingkat kesulitan ★★★☆☆)
Diberikan sin α = 3 5 \sin\alpha = \frac{3}{5} sin α = 5 3 α ∈ ( 0 , π 2 ) \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) α ∈ ( 0 , 2 π ) sin 2 α \sin 2\alpha sin 2 α
Solusi :
cos α = 1 − sin 2 α = 4 5 \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{4}{5} cos α = 1 − sin 2 α = 5 4
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 × 3 5 × 4 5 = 24 25 \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 × 5 3 × 5 4 = 25 24
Jawaban : 24 25 \frac{24}{25} 25 24
Kesalahpahaman Umum
❌ Miskonsepsi 1: Rumus pengurangan yang salah
Salah : sin ( π − α ) = − sin α \sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha sin ( π − α ) = − sin α
Benar : __ RUMUS_MATEMATIKA_29__
❌ Miskonsepsi 2: Rumus penjumlahan yang membingungkan
Salah : sin ( α + β ) = sin α + sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta sin ( α + β ) = sin α + sin β
Benar : __ RUMUS_MATEMATIKA_31__
Tips Belajar
kategorikan ** Kategorikan : Dasar, pengurangan, jumlah/perbedaan, sudut ganda
✅ Pahami derivasi : Jangan hanya menghafal
✅ ** Berlatih**: Perkuat melalui latihan
✅ Hubungkan rumus : Banyak rumus yang dapat diturunkan dari satu sama lain
💡 Tips Ujian : Identitas trigonometri adalah inti dari trigonometri, wajib dipelajari di CSCA! Menguasai rumus adalah kunci untuk memecahkan masalah.