三角恒等式sānjiǎo héngděngshì

Konsep Pokok

Identitas Trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri dan berlaku untuk semua nilai dalam domainnya. Menguasai identitas-identitas ini merupakan kunci dalam mempelajari trigonometri.

Identitas Dasar

Identitas Pythagoras

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

Identitas Kuotien

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Rumus-rumus Penyederhanaan

Sudut Negatif

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

Sudut-sudut yang Saling Melengkapi

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$

Sudut Tambahan

$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan

Sinus

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

Kosinus

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

Tangen

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

Rumus Sudut Ganda

Sinus

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Kosinus

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

Rumus Penghemat Daya: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

Tangen

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

Rumus Sudut Tambahan

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$

di mana $\tan\varphi = \frac{b}{a}$

Soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Singkatnya: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \tan^2\alpha$

Solusi: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \tan^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

Jawaban: $\sec^2\alpha$

---

[Contoh 2] Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ dan $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ sudah diketahui, tentukan $\sin 2\alpha$.

Solusi:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{4}{5}$

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

Jawaban: $\frac{24}{25}$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Rumus penyederhanaan yang salah

Salah: $\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha$

Benar: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$

❌ Kesalahpahaman 2: Mengacaukan rumus penjumlahan

Salah: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$

Benar: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Tips Belajar

1. ✅ Kategori: Dasar, reduksi, penjumlahan/pengurangan, sudut ganda
2. ✅ Pahami cara penurunannya: Jangan hanya menghafal
3. ✅ Latihan: Perkuat pemahaman melalui latihan
4. ✅ Hubungkan rumus-rumus: Banyak di antaranya dapat diturunkan satu sama lain

---

💡 Tips Ujian: Identitas trigonometri merupakan inti dari trigonometri, dan wajib dikuasai dalam ujian CSCA! Menguasai rumus-rumus tersebut adalah kunci dalam memecahkan soal.