正弦定理zhèngxián dìnglǐ

Konsep Inti

Hukum Sinus adalah alat yang penting untuk menyelesaikan segitiga, yang menjelaskan hubungan proporsional antara panjang sisi dan sinus dari sudut yang berlawanan.

Pernyataan Teorema

Pada $\triangle ABC$, misalkan $a, b, c$ adalah sisi-sisi yang berseberangan dengan sudut $A, B, C$, dan $R$ adalah kelilingnya:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Bukti Teorema

Metode 1: Metode Luas

Misalkan $S$ adalah luas dari $\triangle ABC$:

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

Dari dua ekspresi pertama: $bc\sin A = ac\sin B$ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Hubungan-hubungan lain dapat dibuktikan dengan cara yang sama.

Metode 2: Metode Lingkaran

Biarkan $R$ menjadi keliling $\triangle ABC$. Gambarkan diameter $AD$ melalui titik $A$, hubungkan $BD$.

Karena $\angle ABD = 90°$ (sudut dalam setengah lingkaran) dan $\angle D = \angle C$ (sudut yang diarsir oleh busur yang sama):

$\sin C = \sin D = \frac{AB}{AD} = \frac{c}{2R}$

Oleh karena itu: $\frac{c}{\sin C} = 2R$

Hubungan lain juga mengikuti hal yang sama.

Aplikasi

1. Diberikan Dua Sudut dan Satu Sisi (AAS/ASA)

Contoh: Pada $\triangle ABC$, $A = 60°$, $B = 45°$, $a = \sqrt{3}$, cari $b$.

Solusi: $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$ $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \sqrt{2}$

2. Diberikan Dua Sisi dan Satu Sudut (SSA)

Contoh: Pada $\triangle ABC$, $a = 8$, $b = 7$, $A = 60°$, cari $B$.

Solusi: $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60°}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{16}$

Catatan: Kasus ini mungkin memiliki dua solusi (kasus ambigu)

3. Konversi Sudut Samping

Dari $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

Jumlah Solusi (Kasus SSA)

Diberikan $a, b, A$, untuk mencari $B$ di mana $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$:

1. Tidak ada solusi: $\frac{b\sin A}{a} > 1$
2. Satu solusi:
   • $\frac{b\sin A}{a} = 1$ (jika $B = 90°$)
   • $b \geq a$ (B adalah unik)
3. Dua solusi: $\frac{b\sin A}{a} < 1$ dan $b < a$ (satu lancip, satu tumpul)

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal berikut ini dirancang sesuai dengan silabus ujian CSCA dan format ujian standar Cina.

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Pada $\triangle ABC$, $a = 3$, $b = 5$, $\sin A = \frac{1}{3}$, cari $\sin B$.

Solusi:

Dengan hukum sinus: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{5 \cdot \frac{1}{3}}{3} = \frac{5}{9}$

** Jawaban**: $\sin B = \frac{5}{9}$

Kesalahpahaman Umum

❌ Miskonsepsi 1: Lupa memeriksa jumlah solusi

Salah: Tidak memeriksa apakah ada 0, 1, atau 2 solusi dalam kasus SSA

Benar: Harus menganalisis kondisi untuk menentukan jumlah solusi

❌ Miskonsepsi 2: Rumus keliling yang salah

Salah: $\frac{a}{\sin A} = R$

Benar: $\frac{a}{\sin A} = 2R$

Tips Belajar

1. pahami esensinya**: Sisi-sisi sebanding dengan sinus dari sudut yang berlawanan
2. ✅ Hafalkan rumus: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
3. ✅ Menguasai aplikasi: Kasus AAS, ASA, SSA
4. ✅ Periksa jumlah solusi: Khusus untuk kasus SSA

---

💡 Tips Ujian: Hukum Sinus adalah alat utama untuk menyelesaikan soal-soal segitiga, wajib ada dalam ujian CSCA! Menyumbang sekitar 50% dari soal-soal penyelesaian segitiga.