正弦函数zhèngxián hánshù

Konsep Inti

Fungsi Sinus adalah salah satu fungsi trigonometri dasar, yang menggambarkan hubungan antara sudut dan rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring dalam segitiga siku-siku. Pada lingkaran satuan, fungsi sinus merepresentasikan koordinat y dari suatu titik.

Definisi Matematika

Pada segitiga siku-siku, untuk sudut lancip $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$

Pada lingkaran satuan, jika sudut $\alpha$ berakhir di titik $P(x, y)$: $\sin \alpha = y$

bentuk Fungsi ### $y = \sin x, \quad x \in \mathbb{R}$

Grafik dan Properti

Properti Dasar

1. Domain: $\mathbb{R}$ (semua bilangan real)
2. Range: $[-1, 1]$
3. Periode: $T = 2\pi$
4. Paritas: Fungsi ganjil, $\sin(-x) = -\sin x$
5. Simetri:
   • Simetris tentang asal
   • Simetris tentang garis $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Monotonisitas

• Interval yang meningkat: $\left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• ** Interval yang menurun**: $\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Nilai Khusus

Sudut	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Nilai Ekstrim

• Nilai Maksimum: $1$, di $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• Minimum: $-1$, pada $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Rumus Penting

Identitas Fundamental

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Rumus Pengurangan

• $\sin(\pi - x) = \sin x$
• $\sin(\pi + x) = -\sin x$
• $\sin(2\pi - x) = -\sin x$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

Rumus Penjumlahan dan Perbedaan

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

Rumus Sudut Ganda

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang sesuai dengan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan tipe soal ujian dan strategi pemecahan masalah.

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Diketahui $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ dan $\alpha$ berada di kuadran kedua, carilah $\cos \alpha$ dan $\tan \alpha$.

Solusi:

Dari $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Karena $\alpha$ berada di kuadran kedua, maka $\cos \alpha < 0$: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

Jawaban: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$

---

[Contoh 2] Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Temukan nilai maksimum dan minimum dari $y = 2\sin x + 1$ pada $[0, 2\pi]$.

Solusi:

Karena $\sin x \in [-1, 1]$:

Maksimum: Ketika $\sin x = 1$ (di $x = \frac{\pi}{2}$), $y_{max} = 2 \times 1 + 1 = 3$

Minimum: Ketika $\sin x = -1$ (di $x = \frac{3\pi}{2}$), $y_{min} = 2 \times (-1) + 1 = -1$

Jawaban: Maksimum adalah $3$, minimum adalah $-1$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Membingungkan periode

Salah: Mengira fungsi sinus memiliki titik $\pi$

Benar: Fungsi sinus memiliki periode $2\pi$, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$

❌ Kesalahpahaman 2: Lupa mempertimbangkan kuadran

Salah: Dari $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ langsung menyimpulkan $\cos \alpha = \frac{4}{5}$

Benar: Harus menentukan tanda dari $\cos \alpha$ berdasarkan kuadran

Tips Belajar

1. hafalkan nilai-nilai khusus**: Nilai sinus untuk $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$
2. ✅ Memahami grafik: Menggambar dan memahami periodisitas dan simetri
3. ✅ Menguasai rumus: Pengurangan, jumlah/perbedaan, rumus sudut ganda
4. membedakan kuadran**: Nilai sinus memiliki tanda yang berbeda di kuadran yang berbeda

---

💡 Tip Ujian: Fungsi sinus adalah inti dari trigonometri, mencakup sekitar 40% dari pertanyaan trigonometri dalam ujian CSCA. Harus benar-benar dipahami dan dikuasai!