圆的方程yuán de fāngchéng

核心概念

圆是到定点 $C(a, b)$（圆心）距离等于定值 $r$（半径）的所有点的集合。由于这个定义本身就是关于距离的陈述，圆的方程不过是两边平方后的距离公式。

标准方程

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

• 圆心：$(a, b)$
• 半径：$r$

注意读符号。 方程 $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ 的圆心是 $(3, -2)$，不是 $(3, 2)$——标准形式里减的是圆心坐标，所以括号内看到 $+2$，意味着圆心坐标是 $-2$。

当圆心在原点时，方程简化为 $x^2 + y^2 = r^2$。

一般方程

将标准方程展开并重新记号，得：

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

由它可以还原出：

$\text{圆心} = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right), \qquad r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$

什么时候才真的是圆？

并非所有这种形状的方程都表示圆。令 $\Delta = D^2 + E^2 - 4F$：

条件	图形
$\Delta > 0$	真正的圆
$\Delta = 0$	一个点（点圆）
$\Delta < 0$	不表示任何实图形

这个分类是 CSCA 的标准考点，通常问法是"当 $m$ 取何值时该方程表示圆？"

一般式 → 标准式

对每个变量分别配方。以 $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ 为例：

1. 分组：$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$
2. 分别配方：$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$
3. 因式分解：$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$

圆心 $(3, -2)$，半径 $5$。注意：左边加了多少，右边必须加同样多。

直线与圆的位置关系

设圆心到直线的距离为 $d$（用点到直线距离公式求），半径为 $r$：

位置关系	条件	交点个数
相离	$d > r$	0
相切	$d = r$	1
相交	$d < r$	2

比较 $d$ 与 $r$ 几乎总是比"把直线代入圆再算判别式"更快——这是圆的题目中最大的省时技巧。

弦长公式

若一条直线在半径为 $r$ 的圆上截得弦长 $L$，圆心到该直线距离为 $d$，则

$L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

这是对"半弦、半径、圆心到弦的垂线"构成的直角三角形使用勾股定理的结果。

CSCA 练习题

💡 说明：以下习题依据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试题型设计。

例题 1：基础（难度 ★★☆☆☆）

圆 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ 的圆心和半径为：

选项：

• A. 圆心 $(2, -3)$，半径 $4$
• B. 圆心 $(-2, 3)$，半径 $4$
• C. 圆心 $(2, -3)$，半径 $16$
• D. 圆心 $(-2, 3)$，半径 $16$

详细解答：

代入一般式公式，$D = -4$，$E = 6$，$F = -3$：

• 圆心：$\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2}\right) = (2, -3)$
• 半径：$r = \frac{1}{2}\sqrt{(-4)^2 + 6^2 - 4(-3)} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 36 + 12} = \frac{1}{2}\sqrt{64} = 4$

选项 C 是给那些算出 $r^2$ 却忘记最后开方的同学准备的陷阱。

答案：A

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例题 2：中等（难度 ★★★☆☆）

直线 $3x + 4y - 5 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 相交于一条弦，求弦长。

选项：

• A. $2\sqrt{2}$
• B. $2\sqrt{3}$
• C. $3$
• D. $2$

详细解答：

1. 圆心为 $(0, 0)$，半径 $r = 2$。

2. 圆心到直线的距离： $d = \frac{|3(0) + 4(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{5}{5} = 1$

3. 因为 $d = 1 < 2 = r$，直线确实与圆交于两点。✓

4. 弦长： $L = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 1} = 2\sqrt{3}$

答案：B

为什么不代入求解？ 把直线代入圆会得到一个二次方程，还要把两根代进距离公式——大约要花两分钟。而上面这条 $d$ 与 $r$ 的路线只需二十秒。

常见错误

❌ 错误一：读圆心时弄错符号

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$ 的圆心是 $(-1, 4)$。标准形式写的是减号，所以括号内看到的符号与圆心坐标相反。

❌ 错误二：把 $r^2$ 当成 $r$ 报出去

标准方程右边是 $r^2$。如果它是 $25$，半径是 $5$。

❌ 错误三：配方时忘了两边平衡

左边 $(x^2 - 6x + 9)$ 加了 $9$，右边也必须加 $9$。漏掉这一步会改变半径，并悄悄毁掉后面每一步。

❌ 错误四：默认任何 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 都是圆

尤其当方程含参数时，务必先检验 $D^2 + E^2 - 4F > 0$。

学习建议

1. ✅ 记住圆的方程就是距离公式的平方——考场上可以现推
2. ✅ 直线与圆的问题一律先比较 $d$ 和 $r$，不要代入硬算
3. ✅ 把配方练到两个变量都能条件反射
4. ✅ 背下弦长公式 $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$——它能把一道长题压缩成一行
5. ✅ 出现参数时先检查 $\Delta > 0$

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💡 考试提示：「由圆心（或半径）求圆的方程」与「由标准方程确定圆心和半径」合计使圆成为 CSCA 解析几何中考查频次第二高的主题，仅次于两点间距离公式。绝大多数圆的题目只有两步：先求圆心与半径，再套一条位置关系。