giá trị kỳ vọng / kỳ vọng toán học | CSCA Math Glossary

Khái niệm cốt lõi

Giá trị kỳ vọng (hay kỳ vọng toán học) của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng số của tất cả các giá trị có thể, trong đó trọng số là các xác suất.

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ nhận các giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_n$ với xác suất $p_1, p_2, \ldots, p_n$ :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

Ký hiệu

$E(X)$ - Giá trị kỳ vọng của $X$
$\mu$ (mu) - Thường dùng để ký hiệu giá trị kỳ vọng
$\overline{X}$ - Trung bình mẫu (ước lượng của $E(X)$ )

Giải thích

Giá trị kỳ vọng đại diện cho:

Giá trị trung bình dài hạn của nhiều phép thử độc lập
Trọng tâm của phân phối xác suất
Giá trị hợp lý trong bối cảnh cờ bạc/tài chính

Quan trọng: Giá trị kỳ vọng có thể không phải là một kết quả thực sự có thể xảy ra.

Tính chất của giá trị kỳ vọng

1. Tính tuyến tính

$E(aX + b) = aE(X) + b$

trong đó $a$ và $b$ là các hằng số.

2. Tổng các biến ngẫu nhiên

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Điều này đúng ngay cả khi $X$ và $Y$ KHÔNG độc lập.

3. Tích các biến độc lập

Nếu $X$ và $Y$ độc lập: $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4. Kỳ vọng của hằng số

$E(c) = c$

Các phân phối thường gặp

Phân phối	Giá trị kỳ vọng
Bernoulli( $p$ )	$p$
Nhị thức( $n, p$ )	$np$
Đều( $\{1,2,...,n\}$ )	$\dfrac{n+1}{2}$
Hình học( $p$ )	$\dfrac{1}{p}$

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối như sau:

$X$	1	2	3
$P$	0,2	0,5	0,3

Tính $E(X)$ .

Giải pháp: $E(X) = 1 \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3$ $= 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$

Câu trả lời: $E(X) = 2{,}1$

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Nếu $E(X) = 3$ , tính $E(2X + 5)$ .

Giải pháp:

Sử dụng tính tuyến tính: $E(2X + 5) = 2E(X) + 5 = 2(3) + 5 = 11$

Câu trả lời: $11$

Ví dụ 3: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Tung một đồng xu công bằng 100 lần. Gọi $X$ là số lần ra mặt ngửa. Tính $E(X)$ .

Giải pháp:

$X$ tuân theo phân phối nhị thức với $n = 100$ , $p = 0{,}5$ .

$E(X) = np = 100 \times 0{,}5 = 50$

Câu trả lời: $E(X) = 50$

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm lẫn E(X) với giá trị có khả năng nhất

Sai: $E(X)$ là giá trị xuất hiện thường xuyên nhất ✗

Đúng: $E(X)$ là trung bình có trọng số; yếu vị (mode) mới là giá trị thường xuyên nhất ✓

❌ Lỗi 2: Quên rằng tổng xác suất phải bằng 1

Trước khi tính toán, hãy xác minh: $\sum p_i = 1$

❌ Lỗi 3: Áp dụng sai tính tuyến tính

Sai: $E(X^2) = (E(X))^2$ ✗

Đúng: Nói chung $E(X^2) \neq (E(X))^2$ . Hiệu số chính là phương sai! ✓

Mối quan hệ với phương sai

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Hoặc tương đương: $E(X^2) = \text{Var}(X) + (E(X))^2$

Mẹo học tập

✅ Nhớ công thức: $E(X) = \sum x_i p_i$
✅ Thành thạo tính tuyến tính: $E(aX+b) = aE(X)+b$
✅ Biết các phân phối thường gặp: Kỳ vọng của phân phối nhị thức là $np$
✅ Không nhầm lẫn với phương sai: $E(X^2) \neq (E(X))^2$

💡 Mẹo thi: Khi được cho bảng phân phối xác suất, trước tiên hãy xác minh rằng tổng xác suất bằng 1, sau đó áp dụng trực tiếp định nghĩa!

数学期望shùxué qīwàng