概率gàilǜ

Khái niệm cơ bản Xác suất là một đo lường số học về khả năng xảy ra của một sự kiện ngẫu nhiên, mô tả mức độ khả năng xảy ra của một kết quả trong một thí nghiệm ngẫu nhiên.

Định nghĩa toán học Đối với một sự kiện ngẫu nhiên $A$, xác suất của nó $P(A)$ là một số thực nằm trong khoảng từ 0 đến 1: $0 \leq P(A) \leq 1$, trong đó: - $P(A) = 0$: sự kiện không thể xảy ra - $P(A) = 1$: sự kiện chắc chắn

• $0 < P(A) < 1$: sự kiện ngẫu nhiên ### Xác suất cổ điển Khi một thí nghiệm ngẫu nhiên thỏa mãn: 1. Số lượng kết quả có thể xảy ra hữu hạn 2. Tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau Thì xác suất của sự kiện $A$ là: $P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of outcomes}} = \frac{m}{n}$ ## Các tính chất cơ bản của xác suất

Tính chất 1: Sự kiện bổ sung Nếu các sự kiện $A$ và $\overline{A}$ là bổ sung: $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ### Tính chất 2: Quy tắc cộng

Đối với hai sự kiện $A$ và $B$: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ Trường hợp đặc biệt: Khi $A$ và $B$ là các sự kiện tương hỗ ($A \cap B = \emptyset$):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ### Tính chất 3: Xác suất điều kiện Xác suất của sự kiện $A$ cho rằng sự kiện $B$ đã xảy ra: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)$ ### Tính chất 4: Sự kiện độc lập

Nếu các sự kiện $A$ và $B$ độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ## Phương pháp tính toán thông dụng ### Phương pháp 1: Đếm Sử dụng: Khi số kết quả nhỏ Ví dụ: Quay hai con xúc xắc, tìm xác suất tổng bằng 7?

Phân tích: - Tổng số kết quả: $6 \times 6 = 36$ - Tổng bằng 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 trường hợp $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Phương pháp 2: Tổ hợp Sử dụng: Khi số kết quả là lớn Ví dụ: Rút 5 lá bài từ bộ bài 52 lá, xác suất có chính xác 3 lá Át? Phân tích: - Tổng số cách: $C_{52}^5$

• Cách để có 3 lá Át: $C_4^3 \times C_{48}^2$ $P = \frac{C_4^3 \times C_{48}^2}{C_{52}^5} = \frac{4 \times 1128}{2598960} \approx 0.00174$ ## Ứng dụng thực tế ### Ứng dụng 1: Vấn đề xổ số Vấn đề: Hộp có 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng trắng. Rút 2 quả bóng, tìm xác suất có 1 quả đỏ và 1 quả trắng.

Phân tích: - Tổng số cách: $C_8^2 = 28$ - 1 đỏ, 1 trắng: $C_5^1 \times C_3^1 = 15$ $P = \frac{15}{28}$ ### Ứng dụng 2: Kiểm soát chất lượng Vấn đề: Sản phẩm có tỷ lệ đạt 95%. Tìm xác suất sản phẩm bị lỗi khi chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm.

Phân tích: Giả sử $A$ là sự kiện đạt tiêu chuẩn, thì $\overline{A}$ là sự kiện lỗi $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.95 = 0.05$ ### Ứng dụng 3: Dự báo thời tiết Vấn đề: Xác suất mưa ngày mai là 70%. Nếu mưa, xác suất tắc đường là 80%; nếu không mưa, 30%. Tính xác suất tắc đường. Phân tích: Đặt $R$ = mưa, $T$ = tắc đường $P(T) = P(R) \cdot P(T|R) + P(\overline{R}) \cdot P(T|\overline{R})$ $= 0.7 \times 0.8 + 0.3 \times 0.3 = 0.56 + 0.09 = 0.65$

Câu trả lời: Xác suất tắc đường là 65% ## Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề. ### Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên từ 1 đến 10. Xác suất chọn được số chẵn là bao nhiêu? Các phương án: - A. $\frac{1}{10}$ - B. $\frac{1}{5}$ - C. $\frac{2}{5}$ - D. $\frac{1}{2}$

Giải pháp: Tổng số kết quả: 10 Số chẵn: 2, 4, 6, 8, 10 → 5 số $P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ Câu trả lời: D --- ### Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Túi có 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng trắng. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tìm xác suất có ít nhất 1 quả bóng đỏ. Giải pháp: Phương pháp 1: Cách tiếp cận trực tiếp Ít nhất 1 quả bóng đỏ = chính xác 1 quả bóng đỏ + chính xác 2 quả bóng đỏ $P = \frac{C_5^1 \times C_3^1 + C_5^2}{C_8^2} = \frac{15 + 10}{28} = \frac{25}{28}$ Phương pháp 2: Bổ sung (đơn giản hơn!) Bổ sung của "ít nhất 1 quả đỏ" = "0 quả đỏ" (tức là 2 quả trắng) $P = 1 - \frac{C_3^2}{C_8^2} = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$ Câu trả lời: $\frac{25}{28}$ --- ### Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆) Hai người giải quyết cùng một vấn đề một cách độc lập. Người A giải với xác suất 0.7, Người B với 0.8. Tìm: 1. Xác suất cả hai đều giải được 2. Xác suất chính xác một người giải được 3. Xác suất ít nhất một người giải được Giải pháp: Đặt $A$ = "A giải", $B$ = "B giải"

Đã cho: $P(A) = 0.7$, $P(B) = 0.8$ (1) Cả hai giải quyết: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \times 0.8 = 0.56$ (2) Chính xác một người giải quyết: $P = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ $= 0.7 \times 0.2 + 0.3 \times 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38$

(3) Ít nhất một giải: Sử dụng bổ sung $P = 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 1 - 0.3 \times 0.2 = 0.94$ Câu trả lời: (1) 0.56 (2) 0.38 (3) 0.94 ## Lỗi thường gặp ### ❌ Lỗi 1: Xác suất > 1

Sửa lỗi: Khoảng xác suất là $[0, 1]$. Nếu kết quả vượt quá khoảng này, tính toán là sai. ### ❌ Lỗi 2: Sử dụng phương pháp trực tiếp cho các bài toán "ít nhất" Sai: Liệt kê tất cả các trường hợp (dễ bỏ sót một số trường hợp) Đúng: Sử dụng phương pháp bổ sung: "ít nhất một" = 1 - "không có" ### ❌ Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa độc lập và tương hỗ loại trừ Tương hỗ loại trừ: Không thể xảy ra cùng lúc ($A \cap B = \emptyset$), $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ Độc lập: Một không ảnh hưởng đến cái kia ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$) Hoàn toàn khác biệt! ### ❌ Lỗi 4: Quên điều kiện trong xác suất có điều kiện Sửa lỗi: $P(A|B) \neq P(A)$ (trừ khi $A$ và $B$ độc lập) ## Mẹo học tập

1. ✅ Nắm vững khái niệm cơ bản: Không gian mẫu, sự kiện cơ bản, sự kiện ngẫu nhiên 2. ✅ Học thuộc lòng công thức: Bổ sung, quy tắc cộng, xác suất điều kiện 3. ✅ Chọn phương pháp phù hợp: Đếm cho trường hợp đơn giản, tổ hợp cho trường hợp phức tạp
2. ✅ Sử dụng bổ sung một cách thông minh: Các bài toán "ít nhất" dễ giải hơn khi sử dụng bổ sung 5. ✅ Phân biệt độc lập và loại trừ: Các định nghĩa và công thức khác nhau --- 💡 Mẹo thi: Xác suất là nội dung cốt lõi của thống kê CSCA, chiếm khoảng 40% các bài toán thống kê. Phương pháp bổ sung và sự kiện độc lập thường xuyên được kiểm tra!