条件概率tiáojiàn gàilǜ

Khái niệm cơ bản Xác suất điều kiện là xác suất xảy ra sự kiện $A$ cho biết sự kiện $B$ đã xảy ra, được ký hiệu là $P(A|B)$. ### Định nghĩa Hãy xét hai sự kiện $A, B$ với $P(B) > 0$. Xác suất điều kiện của $A$ cho trước $B$ là: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ Hiểu biết: - Tử số $P(A \cap B)$: Xác suất của cả $A$ và $B$

• Mẫu số $P(B)$: Xác suất của $B$ - Ý nghĩa: Xác suất của $A$ trong "không gian mẫu mới" nơi $B$ xảy ra ## Tính chất ### 1. Không âm $0 \leq P(A|B) \leq 1$

2. Sự kiện chắc chắn $P(\Omega|B) = 1$ ### 3. Quy tắc cộng Nếu $A_1, A_2$ là các sự kiện độc lập: $P(A_1 \cup A_2|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B)$ ## Quy tắc nhân Từ định nghĩa, ta có quy tắc nhân: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ ## Độc lập ### Sự kiện độc lập Nếu các sự kiện $A$ và $B$ là độc lập: $P(A|B) = P(A)$ $P(B|A) = P(B)$ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ý nghĩa: Sự xuất hiện của $B$ không ảnh hưởng đến xác suất của $A$. ### Sự kiện tương hỗ và sự kiện độc lập - Sự kiện tương hỗ: $A \cap B = \emptyset$, không thể xảy ra cùng lúc

• Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, sự xuất hiện là độc lập Lưu ý: Các sự kiện tương hỗ thường không độc lập (trừ khi một trong hai có xác suất bằng 0) ## Bài tập thực hành CSCA ### [Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Một túi có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng trắng. Rút 2 quả bóng mà không đặt lại: 1. Xác suất quả đầu tiên là đỏ: $P(A)$ 2. Cho rằng quả đầu tiên là đỏ, xác suất quả thứ hai là đỏ: $P(B|A)$ Giải pháp: 1. $P(A) = \frac{3}{5}$

2. Sau khi rút quả bóng đỏ, còn lại 2 quả đỏ và 2 quả trắng: $P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ Câu trả lời: $P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B|A) = \frac{1}{2}$ --- ### [Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Quay hai đồng xu công bằng. Cho: - $A$: Ít nhất một mặt ngửa - $B$: Cả hai mặt ngửa Tìm $P(B|A)$. Giải pháp: Không gian mẫu: $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$ Sự kiện $A$: Ít nhất một mặt ngửa, $A = \{HH, HT, TH\}$, $P(A) = \frac{3}{4}$ Sự kiện $B$: Cả hai mặt ngửa, $B = \{HH\}$, $P(B) = \frac{1}{4}$ Giao của các sự kiện: $A \cap B = \{HH\}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ Câu trả lời: $\frac{1}{3}$ ## Định lý Bayes $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$ Ứng dụng: Tìm xác suất của "nguyên nhân" cho "hậu quả" ## Những hiểu lầm phổ biến ### ❌ Hiểu lầm 1: Công thức sai

Sai: $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ Đúng: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ### ❌ Sai lầm 2: Nhầm lẫn giữa $P(A|B)$ và $P(B|A)$

Sai: Nghĩ rằng $P(A|B) = P(B|A)$ Đúng: Thông thường là $P(A|B) \neq P(B|A)$ ## Mẹo học tập 1. ✅ Hiểu định nghĩa: Xác suất trong không gian mẫu mới 2. ✅ Nắm vững công thức: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 3. ✅ Phân biệt khái niệm: Tương hỗ và độc lập 4. ✅ Sử dụng sơ đồ cây: Giúp hình dung các vấn đề phức tạp --- 💡 Mẹo thi: Xác suất điều kiện là yếu tố quan trọng trong xác suất CSCA! Phải hiểu sâu sắc. Chiếm 30-40% các bài toán xác suất