方差fāngchā

Khái niệm cơ bản

Phương sai của một biến ngẫu nhiên đo mức độ phân tán của các giá trị xung quanh kỳ vọng (giá trị trung bình).

Định nghĩa

Với biến ngẫu nhiên $X$ có kỳ vọng $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Ký hiệu

• $\text{Var}(X)$ hoặc $V(X)$ - Phương sai của $X$
• $\sigma^2$ (sigma bình phương) - Ký hiệu phổ biến cho phương sai
• $D(X)$ - Ký hiệu thay thế (sử dụng trong sách giáo khoa Trung Quốc)

Hai công thức

Công thức 1: Định nghĩa

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Công thức 2: Công thức tính toán (thực tế hơn)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Cách nhớ: "Trung bình của bình phương trừ bình phương của trung bình"

Tính chất của phương sai

1. Không âm

$\text{Var}(X) \geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $X$ là hằng số.

2. Hệ số hằng

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Lưu ý: Hệ số được bình phương.

3. Cộng thêm hằng số

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Cộng thêm hằng số không thay đổi độ phân tán.

4. Phép biến đổi tuyến tính kết hợp

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Tổng các biến độc lập

Nếu $X$ và $Y$ độc lập: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Cảnh báo: Công thức này KHÔNG áp dụng cho các biến phụ thuộc!

6. Phương sai của hằng số

$\text{Var}(c) = 0$

Các phân phối thường gặp

Phân phối	Phương sai
Bernoulli($p$)	$p(1-p)$
Nhị thức($n, p$)	$np(1-p)$
Đều rời rạc($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập sau được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Tính $\text{Var}(X)$.

Lời giải:

Trước tiên, tính $E(X)$: $E(X) = 0(0{,}3) + 1(0{,}5) + 2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9$

Tính $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0{,}3) + 1^2(0{,}5) + 2^2(0{,}2) = 0 + 0{,}5 + 0{,}8 = 1{,}3$

Áp dụng công thức: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1{,}3 - 0{,}81 = 0{,}49$

Đáp án: $\text{Var}(X) = 0{,}49$

---

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Nếu $\text{Var}(X) = 4$, tính $\text{Var}(3X + 2)$.

Lời giải:

Sử dụng tính chất $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Đáp án: $36$

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu $E(X) = 2$ và $E(X^2) = 8$, tính $\text{Var}(2X - 3)$.

Lời giải:

Trước tiên, tính $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Sau đó: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Đáp án: $16$

Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với $X$, nên dễ diễn giải hơn.

Phương sai vs. Kỳ vọng

Tính chất	Kỳ vọng $E(X)$	Phương sai $\text{Var}(X)$
Đo lường	Tâm (vị trí)	Độ phân tán
Biến đổi tuyến tính	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Tổng	Luôn cộng được	Chỉ cộng được khi độc lập

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Quên bình phương hệ số

Sai: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Đúng: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Lỗi 2: Cộng phương sai của các biến phụ thuộc

Sai: Nếu $X$ và $Y$ phụ thuộc, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Đúng: Chỉ đúng cho các biến độc lập ✓

❌ Lỗi 3: Nhầm lẫn phương sai với độ lệch chuẩn

Sai: Độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức($n,p$) là $np(1-p)$ ✗

Đúng: Phương sai là $np(1-p)$; độ lệch chuẩn là $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Mẹo học tập

1. ✅ Dùng công thức tính toán: $E(X^2) - (E(X))^2$ thường dễ hơn
2. ✅ Nhớ hệ số phải bình phương: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Kiểm tra tính độc lập: Phương sai của tổng chỉ cộng được khi các biến độc lập
4. ✅ Thuộc phương sai nhị thức: $np(1-p)$ thường xuyên được kiểm tra

---

💡 Mẹo thi: Khi tính phương sai, luôn tính $E(X)$ và $E(X^2)$ riêng trước. Công thức tính toán ít sai sót hơn công thức định nghĩa!