方差fāngchā

Khái niệm cốt lõi

Độ lệch chuẩn của một đại lượng ngẫu nhiên đo lường mức độ phân tán của các giá trị của nó xung quanh giá trị kỳ vọng (trung bình).

Định nghĩa

Đối với một biến ngẫu nhiên $X$ có giá trị kỳ vọng là $\mu = E(X)$:

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2$

Ký hiệu

• $\text{Var}(X)$ hoặc $V(X)$ - Biến thể của $X$
• $\sigma^2$ (sigma bình phương) - Ký hiệu thông dụng để chỉ phương sai
• $D(X)$ - Cách ghi khác (được sử dụng trong sách giáo khoa tiếng Trung)

Hai công thức

Công thức 1: Định nghĩa

$\text{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$

Công thức 2: Phương pháp tính toán (thực tiễn hơn)

$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Phương pháp ghi nhớ: "Bình phương trung bình trừ bình phương của trung bình"

Các tính chất của phương sai

1. Tính không âm

$\text{Var}(X) \geq 0$

Bất đẳng thức chỉ đúng khi $X$ là hằng số.

2. Hằng số

$\text{Var}(aX) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

Lưu ý: Hệ số này được lấy bình phương.

3. Cộng với một hằng số

$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$

Việc thêm một hằng số không làm thay đổi độ lệch.

4. Biến đổi tuyến tính kết hợp

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

5. Tổng của các biến độc lập

Nếu $X$ và $Y$ là độc lập: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Cảnh báo: Điều này KHÔNG áp dụng cho các biến phụ thuộc!

6. Phương sai của một hằng số

$\text{Var}(c) = 0$

Các phân phối phổ biến

Phân phối	Độ lệch chuẩn
Bernoulli ($p$)	$p(1-p)$
Hàm nhị thức ($n, p$)	$np(1-p)$
Đồng phục ($\{1,...,n\}$)	$\dfrac{n^2-1}{12}$

Các bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi của CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Mức độ khó ★★☆☆☆)

Biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối như sau:

$X$	0	1	2
$P$	0,3	0,5	0,2

Tìm $\text{Var}(X)$.

Giải pháp:

Trước tiên, hãy tìm $E(X)$: $E(X) = 0(0.3) + 1(0.5) + 2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.4 = 0.9$

Tìm sản phẩm $E(X^2)$: $E(X^2) = 0^2(0.3) + 1^2(0.5) + 2^2(0.2) = 0 + 0.5 + 0.8 = 1.3$

Áp dụng công thức: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49$

Câu trả lời: $\text{Var}(X) = 0.49$

---

Ví dụ 2: Trung cấp (Mức độ khó ★★★☆☆)

Nếu là $\text{Var}(X) = 4$, hãy tìm $\text{Var}(3X + 2)$.

Giải pháp:

Sử dụng mã sản phẩm $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$: $\text{Var}(3X + 2) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) = 9 \times 4 = 36$

Câu trả lời: $36$

---

Ví dụ 3: Trình độ trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Một đồng xu công bằng được tung lên 100 lần. Giả sử $X$ là số lần xuất hiện mặt ngửa. Tìm $\text{Var}(X)$.

Giải pháp:

$X$ nằm trong dòng sản phẩm Binomial ($n=100$, $p=0.5$).

$\text{Var}(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25$

Câu trả lời: $\text{Var}(X) = 25$

---

Ví dụ 4: Cấp độ nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu có $E(X) = 2$ và $E(X^2) = 8$, hãy tìm $\text{Var}(2X - 3)$.

Giải pháp:

Trước tiên, hãy tìm $\text{Var}(X)$: $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 8 - 4 = 4$

Sau đó: $\text{Var}(2X - 3) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) = 4 \times 4 = 16$

Câu trả lời: $16$

---

Ví dụ 5: Nâng cao (Độ khó ★★★★★)

Nếu $X$ và $Y$ độc lập với $\text{Var}(X) = 2$ và $\text{Var}(Y) = 3$, hãy tìm $\text{Var}(2X - 3Y + 1)$.

Giải pháp:

Sử dụng các thuộc tính: $\text{Var}(2X - 3Y + 1) = \text{Var}(2X - 3Y)$ $= \text{Var}(2X) + \text{Var}(-3Y)$ (independence) $= 4\text{Var}(X) + 9\text{Var}(Y)$ $= 4(2) + 9(3) = 8 + 27 = 35$

Câu trả lời: $35$

Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với $X$, nhờ đó dễ hiểu hơn.

Phương sai so với giá trị kỳ vọng

Tài sản	Giá trị dự kiến $E(X)$	Mã sản phẩm $\text{Var}(X)$
Các biện pháp	Trung tâm (vị trí)	Độ lan tỏa (độ phân tán)
Biến đổi tuyến tính	$E(aX+b) = aE(X)+b$	$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$
Tổng	Luôn luôn cộng dồn	Chỉ là yếu tố bổ sung nếu độc lập

Những sai lầm thường gặp

❌ Lỗi 1: Quên nâng hệ số lên bình phương

Sai: $\text{Var}(3X) = 3 \cdot \text{Var}(X)$ ✗

Đúng: $\text{Var}(3X) = 9 \cdot \text{Var}(X)$ ✓

❌ Sai lầm 2: Cộng các sai số của các biến phụ thuộc

Sai: Nếu $X$ và $Y$ có mối quan hệ phụ thuộc, thì $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ ✗

Đúng: Điều này chỉ áp dụng cho các biến độc lập ✓

❌ Sai lầm 3: Nhầm lẫn giữa phương sai và độ lệch chuẩn

Sai: Độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức ($n,p$) là $np(1-p)$ ✗

Đúng: Hệ số biến thiên là $np(1-p)$; độ lệch chuẩn là $\sqrt{np(1-p)}$ ✓

Mẹo học tập

1. ✅ Sử dụng công thức tính toán: $E(X^2) - (E(X))^2$ thường dễ hơn
2. ✅ Lưu ý: Hệ số được bình phương: $\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)$
3. ✅ Kiểm tra tính độc lập: Phương sai của tổng chỉ được tính khi các biến độc lập với nhau
4. ✅ Hiểu về phương sai nhị thức: $np(1-p)$ thường xuất hiện trong các bài thi

---

💡 Mẹo làm bài thi: Khi tính phương sai, hãy luôn tính $E(X)$ và $E(X^2)$ riêng biệt trước. Công thức tính toán sẽ ít gây ra sai sót hơn so với định nghĩa!