奇偶性qī'ǒuxìng

แนวคิดหลัก

ความสมมาตร หมายถึงคุณสมบัติความสมมาตรของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอาจเป็นแบบคู่ แบบคี่ หรือไม่เป็นทั้งสองแบบ

เงื่อนไขเบื้องต้น: เพื่อให้ฟังก์ชันมีคุณสมบัติความเท่ากัน (parity) พื้นที่นิยามของมันต้อง เป็นสมมาตรรอบจุดกำเนิด (หาก $x$ อยู่ในพื้นที่นิยาม แล้ว $-x$ ก็ต้องอยู่ในพื้นที่นิยามด้วย)

คำนิยาม

ฟังก์ชันคู่ (偶函数)

ฟังก์ชัน $f$ เป็น คู่ หาก: $f(-x) = f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

คุณสมบัติทางกราฟ: กราฟนี้มีความสมมาตรรอบ แกน y.

ฟังก์ชันคี่ (奇函数)

ฟังก์ชัน $f$ จะ เป็นเลขคี่ หาก: $f(-x) = -f(x) \quad \text{for all } x \text{ in the domain}$

คุณสมบัติทางกราฟ: กราฟนี้มีความสมมาตรรอบ จุดต้น

คุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันคี่

หาก $f$ เป็นจำนวนคี่ และ $0$ อยู่ในโดเมน แล้ว $f(0) = 0$ ก็อยู่ในโดเมนด้วย

หลักฐาน: $f(0) = f(-0) = -f(0)$, ดังนั้น $2f(0) = 0$, ดังนั้น $f(0) = 0$.

ฟังก์ชันทั่วไปและค่าพาริตี้ของพวกมัน

ฟังก์ชัน	ความเท่าเทียม	การตรวจสอบ
$y = x^n$ (รวมถึง $n$)	แม้กระทั่ง	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ แบบเลขคี่)	แปลก	$(-x)^n = -x^n$
$y = \lvert x \rvert$	แม้กระทั่ง	$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$
$y = \sin x$	แปลก	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	แม้กระทั่ง	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	แปลก	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	ทั้งสองอย่างไม่ได้	$a^{-x} \neq a^x$ และ $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	ทั้งสองอย่างไม่ได้	โดเมนไม่สมมาตร

วิธีการกำหนดค่าพาริตี

ขั้นตอนการทำงานทีละขั้นตอน

1. ตรวจสอบความสมมาตรของโดเมน: $-x$ อยู่ในโดเมนทุกครั้งที่ $x$ อยู่ในโดเมนหรือไม่?
2. คำนวณ $f(-x)$: แทนค่า $-x$ ลงในฟังก์ชัน
3. เปรียบเทียบกับ $f(x)$ และ $-f(x)$:
   • หาก $f(-x) = f(x)$ → คู่
   • หาก $f(-x) = -f(x)$ → เลขคี่
   • มิฉะนั้น → ไม่ทั้งสองอย่าง

ตัวอย่าง 1: ฟังก์ชันคู่

กำหนดค่าพาริตีของ $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$

ขั้นตอนที่ 1: โดเมนคือ $\mathbb{R}$ ซึ่งมีความสมมาตรรอบจุดกำเนิด ✓

ขั้นตอนที่ 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

สรุป: $f$ เป็น เท่ากัน.

ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันเลขคี่

กำหนดค่าพาริตีของ $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$

ขั้นตอนที่ 1: โดเมนคือ $\mathbb{R}$, เป็นสมมาตรรอบจุดกำเนิด ✓

ขั้นตอนที่ 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

สรุป: $f$ เป็น สิ่งแปลก.

ตัวอย่าง 3: ทั้งสองอย่างไม่ได้

กำหนดค่าพาริตีของ $f(x) = x + 1$

ขั้นตอน 1: โดเมนคือ $\mathbb{R}$, แบบสมมาตร ✓

ขั้นตอนที่ 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

ตั้งแต่รุ่น $f(-x) \neq f(x)$ และ $f(-x) \neq -f(x)$:

สรุป: $f$ ไม่ใช่เลขคู่หรือเลขคี่.

ข้อฝึกฝน CSCA

💡 หมายเหตุ: ข้อฝึกฝนต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามเนื้อหาของหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: ระดับพื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

กำหนดค่าพาริตีของ $f(x) = x^3 - x$

วิธีแก้ปัญหา: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

คำตอบ: ฟังก์ชันเลขคี่

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

หาก $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคี่ และ $f(2) = 3$ เป็นฟังก์ชันคี่ ให้หาค่าของ $f(-2) + f(0)$

วิธีแก้ปัญหา:

เนื่องจาก $f$ เป็นจำนวนคี่:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (คุณสมบัติของฟังก์ชันคี่)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

คำตอบ: $-3$

---

ตัวอย่างที่ 3: ระดับสูง (ความยาก ★★★★☆)

หาก $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ เป็นฟังก์ชันคี่ ให้หาค่าของ $b$ และ $d$

วิธีแก้ปัญหา:

สำหรับฟังก์ชันแบบคี่: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

การเปรียบเทียบ: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

จำเป็นต้องใช้: $bx^2 = -bx^2$ และ $d = -d$

ดังนั้น: $b = 0$ และ $d = 0$

คำตอบ: $b = 0$, $d = 0$

---

ตัวอย่างที่ 4: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

หาก $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$ เป็นจำนวนคี่ ให้พิสูจน์ว่า $f(x)$ เป็นจำนวนคี่

วิธีแก้ปัญหา:

$f(-x) = \ln\left(\sqrt{(-x)^2+1} + (-x)\right) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

ตอนนี้ให้คำนวณ $f(x) + f(-x)$: $f(x) + f(-x) = \ln\left(\sqrt{x^2+1} + x\right) + \ln\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)$

$= \ln\left[\left(\sqrt{x^2+1} + x\right)\left(\sqrt{x^2+1} - x\right)\right]$

$= \ln\left[(x^2+1) - x^2\right] = \ln(1) = 0$

ดังนั้น: $f(-x) = -f(x)$

สรุป: $f(x)$ นั้นแปลก

ความเท่าเทียมและการดำเนินการ

ผลรวมของฟังก์ชัน

$f$	$g$	$f + g$
แม้กระทั่ง	แม้กระทั่ง	แม้กระทั่ง
แปลก	แปลก	แปลก
แม้กระทั่ง	แปลก	ทั้งสองอย่าง (โดยทั่วไป)

ผลคูณของฟังก์ชัน

$f$	$g$	$f \cdot g$
แม้กระทั่ง	แม้กระทั่ง	แม้กระทั่ง
แปลก	แปลก	แม้กระทั่ง
แม้กระทั่ง	แปลก	แปลก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: การไม่คำนึงถึงความสมมาตรของโดเมน

ผิด: $f(x) = \sqrt{x}$ เป็นจำนวนคู่ เพราะ $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

ถูกต้อง: โดเมน $[0, +\infty)$ ไม่สมมาตรรอบจุดกำเนิด ดังนั้นค่าพาริตีจึงไม่ถูกกำหนด ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลืมใช้ $f(0) = 0$ สำหรับฟังก์ชันเลขคี่

หาก $f$ เป็นค่าคี่และถูกกำหนดไว้ที่ $x = 0$ แล้ว ก็จะเป็น $f(0) = 0$

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ตรวจสอบค่าเพียงค่าเดียว

ผิด: $f(1) = f(-1)$ ดังนั้น $f$ จึงเป็นเลขคู่ ✗

ถูกต้อง: ต้องตรวจสอบ $f(-x) = f(x)$ สำหรับ $x$ ทั้งหมดในโดเมน ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ตรวจสอบโดเมนก่อน: ต้องเป็นสมมาตรรอบจุดกำเนิด
2. ✅ ใช้การตรวจสอบด้วยพีชคณิต: อย่าพึ่งพาเพียงกราฟเท่านั้น
3. ✅ จำไว้ว่า: ฟังก์ชันคี่ผ่านจุดต้นกำเนิด
4. ✅ เข้าใจกฎของผลิตภัณฑ์: เลขคี่ × เลขคี่ = เลขคู่

---

💡 เคล็ดลับสำหรับการสอบ: สำหรับพหุนาม ฟังก์ชันคี่จะมีแต่พจน์ที่มีองศาคี่ ส่วนฟังก์ชันคู่จะมีแต่พจน์ที่มีองศาคู่เท่านั้น!