奇偶性qī'ǒuxìng

แนวคิดหลัก

ภาวะคู่-คี่ อธิบายคุณสมบัติความสมมาตรของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอาจเป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง

เงื่อนไขเบื้องต้น: เพื่อให้ฟังก์ชันมีภาวะคู่-คี่ โดเมนของฟังก์ชันต้องสมมาตรรอบจุดกำเนิด (ถ้า $x$ อยู่ในโดเมน แล้ว $-x$ ก็ต้องอยู่ในโดเมนด้วย)

นิยาม

ฟังก์ชันคู่ (偶函数)

ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ ถ้า: $f(-x) = f(x) \quad \text{สำหรับทุก } x \text{ ในโดเมน}$

คุณสมบัติเชิงกราฟ: กราฟสมมาตรรอบแกน y

ฟังก์ชันคี่ (奇函数)

ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ ถ้า: $f(-x) = -f(x) \quad \text{สำหรับทุก } x \text{ ในโดเมน}$

คุณสมบัติเชิงกราฟ: กราฟสมมาตรรอบจุดกำเนิด

คุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชันคี่

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่และ $0$ อยู่ในโดเมน แล้ว $f(0) = 0$

พิสูจน์: $f(0) = f(-0) = -f(0)$ ดังนั้น $2f(0) = 0$ จึงได้ $f(0) = 0$

ฟังก์ชันทั่วไปและภาวะคู่-คี่

ฟังก์ชัน	ภาวะคู่-คี่	การตรวจสอบ
$y = x^n$ ($n$ เป็นจำนวนคู่)	คู่	$(-x)^n = x^n$
$y = x^n$ ($n$ เป็นจำนวนคี่)	คี่	$(-x)^n = -x^n$
$y =	x	$
$y = \sin x$	คี่	$\sin(-x) = -\sin x$
$y = \cos x$	คู่	$\cos(-x) = \cos x$
$y = \tan x$	คี่	$\tan(-x) = -\tan x$
$y = a^x$	ไม่เป็นทั้งสองอย่าง	$a^{-x} \neq a^x$ และ $a^{-x} \neq -a^x$
$y = \log_a x$	ไม่เป็นทั้งสองอย่าง	โดเมนไม่สมมาตร

วิธีการตรวจสอบภาวะคู่-คี่

กระบวนการทีละขั้นตอน

1. ตรวจสอบความสมมาตรของโดเมน: เมื่อ $x$ อยู่ในโดเมน $-x$ อยู่ด้วยหรือไม่?
2. คำนวณ $f(-x)$: แทน $-x$ ลงในฟังก์ชัน
3. เปรียบเทียบกับ $f(x)$ และ $-f(x)$:
   • ถ้า $f(-x) = f(x)$ → ฟังก์ชันคู่
   • ถ้า $f(-x) = -f(x)$ → ฟังก์ชันคี่
   • กรณีอื่น → ไม่เป็นทั้งคู่และคี่

ตัวอย่าง 1: ฟังก์ชันคู่

หาภาวะคู่-คี่ของ $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$

ขั้นตอน 1: โดเมนคือ $\mathbb{R}$ ซึ่งสมมาตรรอบจุดกำเนิด ✓

ขั้นตอน 2: $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = f(x)$

สรุป: $f$ เป็นฟังก์ชันคู่

ตัวอย่าง 2: ฟังก์ชันคี่

หาภาวะคู่-คี่ของ $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$

ขั้นตอน 1: โดเมนคือ $\mathbb{R}$ ซึ่งสมมาตรรอบจุดกำเนิด ✓

ขั้นตอน 2: $f(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -\dfrac{x^3}{x^2 + 1} = -f(x)$

สรุป: $f$ เป็นฟังก์ชันคี่

ตัวอย่าง 3: ไม่เป็นทั้งสองอย่าง

หาภาวะคู่-คี่ของ $f(x) = x + 1$

ขั้นตอน 1: โดเมนคือ $\mathbb{R}$ ซึ่งสมมาตร ✓

ขั้นตอน 2: $f(-x) = -x + 1$ $f(x) = x + 1$ $-f(x) = -x - 1$

เนื่องจาก $f(-x) \neq f(x)$ และ $f(-x) \neq -f(x)$:

สรุป: $f$ ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ความยาก ★★☆☆☆)

หาภาวะคู่-คี่ของ $f(x) = x^3 - x$

วิธีทำ: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$

คำตอบ: ฟังก์ชันคี่

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ถ้า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคี่และ $f(2) = 3$ จงหา $f(-2) + f(0)$

วิธีทำ:

เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันคี่:

• $f(-2) = -f(2) = -3$
• $f(0) = 0$ (คุณสมบัติของฟังก์ชันคี่)

$f(-2) + f(0) = -3 + 0 = -3$

คำตอบ: $-3$

---

ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ความยาก ★★★★☆)

ถ้า $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ เป็นฟังก์ชันคี่ จงหาค่า $b$ และ $d$

วิธีทำ:

สำหรับฟังก์ชันคี่: $f(-x) = -f(x)$

$f(-x) = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d$

$-f(x) = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

เปรียบเทียบ: $-ax^3 + bx^2 - cx + d = -ax^3 - bx^2 - cx - d$

เงื่อนไข: $bx^2 = -bx^2$ และ $d = -d$

ดังนั้น: $b = 0$ และ $d = 0$

คำตอบ: $b = 0$, $d = 0$

ภาวะคู่-คี่และการดำเนินการ

ผลรวมของฟังก์ชัน

$f$	$g$	$f + g$
คู่	คู่	คู่
คี่	คี่	คี่
คู่	คี่	ไม่เป็นทั้งสองอย่าง (โดยทั่วไป)

ผลคูณของฟังก์ชัน

$f$	$g$	$f \cdot g$
คู่	คู่	คู่
คี่	คี่	คู่
คู่	คี่	คี่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาด 1: ไม่สนใจความสมมาตรของโดเมน

ผิด: $f(x) = \sqrt{x}$ เป็นฟังก์ชันคู่เพราะ $\sqrt{x} \geq 0$ ✗

ถูก: โดเมน $[0, +\infty)$ ไม่สมมาตรรอบจุดกำเนิด จึงไม่สามารถพิจารณาภาวะคู่-คี่ได้ ✓

❌ ข้อผิดพลาด 2: ลืมว่า $f(0) = 0$ สำหรับฟังก์ชันคี่

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่และนิยามที่ $x = 0$ แล้ว $f(0) = 0$

❌ ข้อผิดพลาด 3: ตรวจสอบเพียงค่าเดียว

ผิด: $f(1) = f(-1)$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ ✗

ถูก: ต้องตรวจสอบว่า $f(-x) = f(x)$ สำหรับ $x$ ทุกค่าในโดเมน ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ตรวจสอบโดเมนก่อน: ต้องสมมาตรรอบจุดกำเนิด
2. ✅ ใช้การตรวจสอบเชิงพีชคณิต: อย่าพึ่งพากราฟเพียงอย่างเดียว
3. ✅ จำคุณสมบัติพิเศษ: ฟังก์ชันคี่ผ่านจุดกำเนิด
4. ✅ รู้กฎการคูณ: คี่ × คี่ = คู่

---

💡 เคล็ดลับสอบ: สำหรับพหุนาม ฟังก์ชันคี่มีเฉพาะพจน์ที่มีกำลังคี่ และฟังก์ชันคู่มีเฉพาะพจน์ที่มีกำลังคู่!