对数函数duìshù hánshù

แนวคิดหลัก ฟังก์ชันลอการิทึม คือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล โดยมีรูปแบบ $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$)

นิยาม หาก $a^y = x$ ($a > 0, a \neq 1$) แล้ว $y$ จะเรียกว่า ลอการิทึม ของ $x$ ที่มีฐานเป็น $a$: $y = \log_a x$ โดยที่:

• $a$ คือ ฐาน - $x$ คือ ตัวแปร - $y$ คือ ลอการิทึม ## คุณสมบัติ ### 1. ขอบเขตและช่วง

• โดเมน: $(0, +\infty)$ - ช่วง: $\mathbb{R}$ ### 2. จุดคงที่ ฟังก์ชันลอการิทึมทั้งหมดผ่าน $(1, 0)$: $\log_a 1 = 0$ ### 3. ความเป็นเส้นตรง

• เมื่อ $a > 1$: $y = \log_a x$ เพิ่มขึ้น บน $(0, +\infty)$ - เมื่อ $0 < a < 1$: $y = \log_a x$ ลดลง บน $(0, +\infty)$

กฎของลอการิทึมสำหรับ $a > 0, a \neq 1$; $M > 0, N > 0$: ### 1. กฎของผลคูณ $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ ### 2. กฎของผลหาร $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ ### 3. กฎของกำลัง

$\log_a M^n = n\log_a M$ ### 4. สูตรการเปลี่ยนแปลงฐาน $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ ### 5. ความสัมพันธ์ผกผัน $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ ### 6. กฎลูกโซ่ $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ ## ลอการิทึมพิเศษ ### ลอการิทึมฐานสิบ ฐานเลข 10, สัญลักษณ์ $\lg x$: $\lg x = \log_{10} x$ ### ฐานเลขลอการิทึมธรรมชาติ $e$ ($e \approx 2.71828$), สัญลักษณ์ $\ln x$: $\ln x = \log_e x$

แบบฝึกหัด CSCA ### [ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) คำนวณ: $\log_2 8 + \log_3 27$ วิธีทำ: $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$ $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$ $\text{Answer: } 6$

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: กฎลอการิทึมผิด ผิด: สูตรคณิต_39 ถูก: สูตรคณิต_40 (กฎการคูณ) ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: ลืมว่าตัวแปรต้องเป็นค่าบวก

ผิด: $\log_2 (-4)$ ถูกกำหนด ถูกต้อง: อาร์กิวเมนต์ต้องเป็น $> 0$ ดังนั้น $\log_2 (-4)$ จึงไม่ถูกกำหนด ## เคล็ดลับการเรียน 1. ✅ เข้าใจคำจำกัดความ: ลอการิทึมคือฟังก์ชันผกผันของการยกกำลัง 2. ✅ จำกฎ: ผลคูณ, ผลหาร, พลังงาน, การเปลี่ยนฐาน 3. ✅ ตรวจสอบโดเมน: อาร์กิวเมนต์ $> 0$, ฐาน $> 0$ และ $\neq 1$ 4. ✅ ฝึกฝน: เชี่ยวชาญเทคนิคการคำนวณ --- 💡 เคล็ดลับข้อสอบ: ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นข้อบังคับใน CSCA! ต้องเชี่ยวชาญกฎของลอการิทึม คิดเป็นประมาณ 20% ของปัญหาฟังก์ชัน