指数函数zhǐshù hánshù

แนวคิดหลัก

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป:

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

โดยที่:

• $a$ คือ ฐาน (ต้องเป็นจำนวนบวกและไม่เท่ากับ 1)
• $x$ คือ เลขชี้กำลัง (ตัวแปร)

ข้อแตกต่างสำคัญจากฟังก์ชันกำลัง: ในฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ตัวแปรอยู่ที่เลขชี้กำลัง; ในฟังก์ชันกำลัง $x^n$ ตัวแปรอยู่ที่ฐาน

โดเมนและเรนจ์

• โดเมน: $\mathbb{R}$ (จำนวนจริงทั้งหมด)
• เรนจ์: $(0, +\infty)$ (จำนวนจริงบวกทั้งหมด)

หมายเหตุ: $a^x > 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ เมื่อ $a > 0$

สมบัติพื้นฐาน

1. ผ่านจุด (0, 1)

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{สำหรับทุก } a > 0$

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลทุกตัวผ่านจุด $(0, 1)$

2. เป็นค่าบวกเสมอ

$a^x > 0 \quad \text{สำหรับทุก } x \in \mathbb{R}$

3. ความเป็นเอกภาพ

• ถ้า $a > 1$: $f(x) = a^x$ เป็น ฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้
• ถ้า $0 < a < 1$: $f(x) = a^x$ เป็น ฟังก์ชันลดโดยแท้

4. กฎของเลขชี้กำลัง

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

ลักษณะของกราฟ

เมื่อ $a > 1$ (เช่น $y = 2^x$)

• เพิ่มจากซ้ายไปขวา
• เข้าใกล้ 0 เมื่อ $x \to -\infty$
• เพิ่มอย่างไม่มีขอบเขตเมื่อ $x \to +\infty$
• เส้นกำกับแนวนอน: $y = 0$

เมื่อ $0 < a < 1$ (เช่น $y = (1/2)^x$)

• ลดจากซ้ายไปขวา
• เพิ่มอย่างไม่มีขอบเขตเมื่อ $x \to -\infty$
• เข้าใกล้ 0 เมื่อ $x \to +\infty$
• เส้นกำกับแนวนอน: $y = 0$

การเปรียบเทียบค่า

เมื่อ $a > 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

เมื่อ $0 < a < 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

เทคนิคการจำ: "ฐาน > 1: เลขชี้กำลังมากขึ้น ค่ามากขึ้น; ฐาน < 1: เลขชี้กำลังมากขึ้น ค่าน้อยลง"

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรการสอบ CSCA

ตัวอย่างที่ 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

เปรียบเทียบค่า: $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$

วิธีทำ: เนื่องจากฐาน $2 > 1$ ดังนั้น $y = 2^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

เนื่องจาก $0.5 > 0.3 > -0.1$: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

คำตอบ: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

เปรียบเทียบ: $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$

วิธีทำ:

สำหรับ $0.5^{-0.1}$ และ $0.5^{0.1}$: เนื่องจาก $0 < 0.5 < 1$ ดังนั้น $y = 0.5^x$ เป็นฟังก์ชันลด ดังนั้น $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$

สำหรับ $0.5^{0.1}$: $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$

สำหรับ $1.5^{0.1}$: เนื่องจาก $1.5 > 1$ และ $0.1 > 0$ ดังนั้น $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$

สำหรับ $0.5^{-0.1}$: เท่ากับ $2^{0.1} > 1$

เปรียบเทียบ $2^{0.1}$ กับ $1.5^{0.1}$: เนื่องจาก $2 > 1.5$ และเลขชี้กำลังเป็นบวก: $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

คำตอบ: $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

---

ตัวอย่างที่ 3: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

หาเรนจ์ของ $f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$

วิธีทำ:

ให้ $t = 2^x$ เนื่องจาก $x \in [-1, 2]$: $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

จะได้ $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ และ $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$

ดังนั้น: $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

สำหรับ $t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$:

• ค่าต่ำสุดที่ $t = 1$: $f = 0 + 1 = 1$
• ตรวจสอบจุดปลาย:
  • ที่ $t = \dfrac{1}{2}$: $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • ที่ $t = 4$: $f = 16 - 8 + 2 = 10$

เรนจ์: $[1, 10]$

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลพิเศษ

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ

$f(x) = e^x \quad \text{โดยที่ } e \approx 2.71828$

นี่คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่สำคัญที่สุดในแคลคูลัส เพราะ $(e^x)' = e^x$

ความผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ความผิดพลาดที่ 1: สับสนกับฟังก์ชันกำลัง

ผิด: $x^2$ เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ✗

ถูก: $2^x$ เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (ตัวแปรอยู่ที่เลขชี้กำลัง), $x^2$ เป็นฟังก์ชันกำลัง ✓

❌ ความผิดพลาดที่ 2: ทิศทางอสมการผิด

ผิด: เนื่องจาก $0.5 < 1$ ดังนั้น $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

ถูก: สำหรับ $0 < a < 1$ เลขชี้กำลังมากขึ้นให้ค่าน้อยลง: $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ ความผิดพลาดที่ 3: ลืมว่า $a^x > 0$

ผิด: สมการ $2^x = -1$ มีคำตอบ ✗

ถูก: สำหรับทุก $x$, $2^x > 0$ ดังนั้นสมการไม่มีคำตอบ ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจสองกรณี: $a > 1$ (เพิ่ม) vs $0 < a < 1$ (ลด)
2. ✅ ใช้การแทนค่า: ให้ $t = a^x$ เพื่อแปลงเป็นสมการพีชคณิต
3. ✅ จำเส้นกำกับ: $y = 0$ เป็นเส้นกำกับแนวนอนเสมอ
4. ✅ ตรวจสอบตำแหน่งตัวแปร: ตัวแปรอยู่ที่เลขชี้กำลัง = ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

---

💡 เคล็ดลับข้อสอบ: เมื่อแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล ใช้การแทนค่า $t = a^x$ เพื่อแปลงเป็นสมการพีชคณิต อย่าลืม $t > 0$!