正弦定理zhèngxián dìnglǐ

แนวคิดหลัก กฎของไซน์ เป็นเครื่องมือสำคัญในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยม โดยอธิบายความสัมพันธ์เชิงสัดส่วนระหว่างความยาวด้านกับความไซน์ของมุมตรงข้าม

ข้อความของทฤษฎีบท ใน $\triangle ABC$ ให้ $a, b, c$ เป็นด้านตรงข้ามกับมุม $A, B, C$ ตามลำดับ และ $R$ เป็นรัศมีวงกลมรอบ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ ## การพิสูจน์ทฤษฎีบท

วิธีที่ 1: วิธีพื้นที่ ให้ $S$ เป็นพื้นที่ของ $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ จากสองสมการแรก: $bc\sin A = ac\sin B$ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ ความสัมพันธ์อื่น ๆ สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน

วิธีที่ 2: วิธีวงกลมรอบนอก ให้ $R$ เป็นรัศมีวงกลมรอบนอกของ $\triangle ABC$ วาดเส้นผ่านศูนย์กลาง $AD$ ผ่านจุด $A$ แล้วเชื่อม $BD$ เข้าด้วยกัน

เนื่องจาก $\angle ABD = 90°$ (มุมในครึ่งวงกลม) และ $\angle D = \angle C$ (มุมที่กางออกโดยส่วนโค้งเดียวกัน): $\sin C = \sin D = \frac{AB}{AD} = \frac{c}{2R}$ ดังนั้น: $\frac{c}{\sin C} = 2R$ ความสัมพันธ์อื่นๆ จะตามมาในลักษณะเดียวกัน

การประยุกต์ใช้ ### 1. เมื่อทราบสองมุมและด้านหนึ่ง (AAS/ASA) ตัวอย่าง: ใน $\triangle ABC$, $A = 60°$, $B = 45°$, $a = \sqrt{3}$, จงหา $b$.

*วิธีแก้: $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$ $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \sqrt{2}$ ### 2. ให้สองด้านและหนึ่งมุม (SSA) ตัวอย่าง:ใน $\triangle ABC$, $a = 8$, $b = 7$, $A = 60°$, ให้หาค่า $B$ วิธีแก้: $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60°}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{16}$ หมายเหตุ: กรณีนี้อาจมีคำตอบสองค่า(กรณีคลุมเครือ) ### 3. การแปลงมุมด้าน จาก $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ ## จำนวนคำตอบ (กรณี SSA) จาก $a, b, A$ เพื่อหา $B$ โดยที่ $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$:

1. ไม่มีวิธีแก้: $\frac{b\sin A}{a} > 1$ 2. มีวิธีแก้หนึ่ง: - $\frac{b\sin A}{a} = 1$ (เมื่อ $B = 90°$) - $b \geq a$ (B เป็นเอกลักษณ์)
2. สองวิธีแก้: $\frac{b\sin A}{a} < 1$ และ $b < a$ (หนึ่งแหลม หนึ่งทู่) ## แบบฝึกหัด CSCA > 💡 หมายเหตุ: ปัญหาต่อไปนี้ถูกออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน

[ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★★☆☆) ใน $\triangle ABC$, $a = 3$, $b = 5$, $\sin A = \frac{1}{3}$, ให้หาค่า $\sin B$.

*วิธีแก้: ตามกฎของไซน์: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{5 \cdot \frac{1}{3}}{3} = \frac{5}{9}$ คำตอบ: $\sin B = \frac{5}{9}$ ## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: ลืมตรวจสอบจำนวนคำตอบ

ผิด: ไม่ได้ตรวจสอบว่ามีคำตอบ 0, 1 หรือ 2 ในกรณี SSA ถูก: ต้องวิเคราะห์เงื่อนไขเพื่อกำหนดจำนวนคำตอบ ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: สูตรรัศมีรอบผิด ผิด: $\frac{a}{\sin A} = R$

*แก้ไข: $\frac{a}{\sin A} = 2R$ ## เคล็ดลับการเรียน 1. ✅ เข้าใจแก่น: ด้านตรงข้ามของมุมตรงข้ามกันจะมีสัดส่วนเท่ากับไซน์ของมุมนั้น 2. ✅ จำสูตร: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ 3. ✅ การประยุกต์ใช้หลัก: กรณี AAS, ASA, SSA 4. ✅ ตรวจสอบจำนวนวิธีแก้: โดยเฉพาะกรณี SSA --- 💡 เคล็ดลับข้อสอบ: กฎของไซน์เป็นเครื่องมือหลักในการแก้สามเหลี่ยม เป็นข้อบังคับในการสอบ CSCA! คิดเป็นประมาณ 50% ของปัญหาการแก้สามเหลี่ยม