正弦函数zhèngxián hánshù

แนวคิดหลัก ฟังก์ชันไซน์ เป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามของมุมฉากในสามเหลี่ยมมุมฉาก ในวงกลมหน่วย ฟังก์ชันไซน์แสดงพิกัด y ของจุดหนึ่ง

นิยามทางคณิตศาสตร์ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับมุมแหลม $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$ บนวงกลมหน่วย หากมุม $\alpha$ สิ้นสุดที่จุด $P(x, y)$: $\sin \alpha = y$

ฟังก์ชัน $y = \sin x, \quad x \in \mathbb{R}$ ## กราฟและคุณสมบัติ ### คุณสมบัติพื้นฐาน 1. โดเมน: $\mathbb{R}$ (จำนวนจริงทั้งหมด) 2. เรนจ์: $[-1, 1]$ 3. ช่วงเวลา: $T = 2\pi$ 4. พาริตี: ฟังก์ชันคี่, $\sin(-x) = -\sin x$ 5. สมมาตร: - สมมาตรกับจุดกำเนิด - สมมาตรกับเส้นตรง $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

ความเป็นเส้นตรง - ช่วงที่เพิ่มขึ้น: $\left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$) - ช่วงที่ลดลง: $\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$)

ค่าพิเศษ | มุม | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ |

|-------|-----|----------------|----------------|----------------|----------------|------| | $\sin$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | ### ค่าที่สุดขั้ว

• สูงสุด: $1$, ที่ $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) - ต่ำสุด: $-1$, ที่ $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

สูตรที่สำคัญ ### สมบัติพื้นฐาน $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ### สูตรการลดรูป - $\sin(\pi - x) = \sin x$ - $\sin(\pi + x) = -\sin x$ - $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ - $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ - $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

สูตรผลรวมและส่วนต่าง $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ### สูตรมุมสองเท่า $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ ## แบบฝึกหัด CSCA > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและกลยุทธ์การแก้ปัญหาในการสอบ

[ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) ให้ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ และ $\alpha$ อยู่ในไตรมาสที่สอง ให้หาค่า $\cos \alpha$ และ $\tan \alpha$

*วิธีแก้: จาก $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ เนื่องจาก $\alpha$ อยู่ในควอแดรนต์ที่สอง, $\cos \alpha < 0$: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

*คำตอบ: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ --- ### [ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ $y = 2\sin x + 1$ บน $[0, 2\pi]$.

*วิธีแก้ปัญหา: เนื่องจาก $\sin x \in [-1, 1]$: ค่าสูงสุด: เมื่อ $\sin x = 1$ (ที่ $x = \frac{\pi}{2}$), $y_{max} = 2 \times 1 + 1 = 3$

ขั้นต่ำ: เมื่อ $\sin x = -1$ (ที่ $x = \frac{3\pi}{2}$), $y_{min} = 2 \times (-1) + 1 = -1$ คำตอบ: สูงสุดคือ $3$, ต่ำสุดคือ $-1$

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: สับสนเกี่ยวกับช่วงเวลา ผิด: คิดว่าฟังก์ชันไซน์มีช่วงเวลา $\pi$ ถูก: ฟังก์ชันไซน์มีช่วงเวลา $2\pi$, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$

❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: ลืมพิจารณาควอแดรนต์ ผิด: จาก $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ สรุปโดยตรงเป็น $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ ถูก: ต้องกำหนดเครื่องหมายของ $\cos \alpha$ ตามควอแดรนต์ ## เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ จำค่าพิเศษ: ค่าไซน์สำหรับ $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ 2. ✅ เข้าใจกราฟ: วาดและเข้าใจลักษณะเป็นคาบและความสมมาตร 3. ✅ เชี่ยวชาญสูตร: สูตรการลดสูตร การบวก/ลบ สูตรมุมสองเท่า
2. ✅ แยกควอแดรนต์: ค่าไซน์จะมีเครื่องหมายต่างกันในแต่ละควอแดรนต์ --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: ฟังก์ชันไซน์เป็นพื้นฐานสำคัญของตรีโกณมิติ คิดเป็นประมาณ 40% ของข้อสอบตรีโกณมิติในการสอบ CSCA ต้องเข้าใจและเชี่ยวชาญอย่างถ่องแท้!