law of cosines | CSCA Math Glossary

แนวคิดหลัก

กฎโคไซน์ เป็นเครื่องมือสำคัญในการแก้สามเหลี่ยม ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสามด้านและค่าโคไซน์ของมุมหนึ่ง เป็นรูปแบบทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในรูป $\triangle ABC$ ให้ $a, b, c$ เป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม $A, B, C$ ตามลำดับ:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

ผลตาม (หาค่ามุม): $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

ตัวอย่าง: ใน $\triangle ABC$ , $b = 3$ , $c = 4$ , $A = 60°$ , ให้หา $a$ .

วิธีแก้ปัญหา: $a^2 = 9 + 16 - 2(3)(4)\cos 60° = 25 - 12 = 13$ $a = \sqrt{13}$

ตัวอย่าง: ใน $\triangle ABC$ , $a = 5$ , $b = 7$ , $c = 8$ , ให้หา $\cos A$ .

วิธีแก้ปัญหา: $\cos A = \frac{49 + 64 - 25}{112} = \frac{11}{14}$

เมื่อ $A = 90°$ , $\cos A = 0$ : $a^2 = b^2 + c^2$

นี่คือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น กฎโคไซน์จึงเป็นการขยายความของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ผิด: $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos A$

ถูกต้อง: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (เครื่องหมายลบ)

💡 เคล็ดลับสำหรับการสอบ: กฎของโคไซน์มีความสำคัญเท่ากับกฎของไซน์ และเป็นหัวข้อที่จำเป็นต้องรู้ในการสอบ CSCA!