一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

Основная концепция

Линейное неравенство в одной переменной — это неравенство, которое можно записать в виде:

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{or} \quad ax + b \leq 0$

где $a \neq 0$, $a$ и $b$ — константы.

Стандартные формы

• $ax + b > 0$ (строго больше)
• $ax + b < 0$ (строго меньше)
• $ax + b \geq 0$ (не меньше)
• $ax + b \leq 0$ (не превышающий)

Свойства неравенств

1. Свойство сложения и вычитания

Если $a > b$, то $a + c > b + c$ для любого действительного числа $c$.

При сложении или вычитании одного и того же числа из обеих частей неравенства направление неравенства сохраняется.

2. Свойство умножения/деления

Положительный мультипликатор: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Отрицательный мультипликатор: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Важное правило: при умножении или делении на отрицательное число изменяйте знак неравенства на противоположный.

3. Транзитивность

Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Метод решения

Пошаговая инструкция

1. Упростите обе части уравнения (разложите, объедините подобные слагаемые)
2. Перенести переменные слагаемые в одну из частей уравнения
3. Перенести постоянные слагаемые в другую часть уравнения
4. Разделить на коэффициент $x$
5. При делении на отрицательное число нужно поменять знак неравенства на противоположный
6. Выражение решения в интервальной нотации

Пример с решением

Решение: $3x - 7 \leq 2x + 5$

Шаг 1: Вычесть $2x$ из обеих частей уравнения $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

Шаг 2: Прибавьте по 7 к обоим членам уравнения $x \leq 12$

Решение: $(-\infty, 12]$

Примеры с изменением знака

Пример: отрицательный коэффициент

Решение: $-2x + 6 > 10$

Шаг 1: Вычесть 6 $-2x > 4$

Шаг 2: Разделить на -2 (изменить знак!) $x < -2$

Решение: $(-\infty, -2)$

Практические задачи по CSCA

💡 Примечание: Приведенные ниже практические задания составлены в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый уровень (Сложность ★☆☆☆☆)

Решите задачу $2x - 5 > 7$.

Параметры:

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

Решение: $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

Ответ: A

---

Пример 2: Средний уровень сложности (★★★☆☆)

Решите задачу $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$.

Решение:

Умножить на LCD = 6: $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

Ответ: $[14, +\infty)$

---

Пример 3: Система неравенств (Уровень сложности ★★★☆☆)

Найдите множество решений следующей системы уравнений: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

Решение:

Из первого неравенства следует: $2x > 4$, следовательно, $x > 2$ Из второго неравенства: $x \leq 6$

Комплект: $2 < x \leq 6$

Ответ: $(2, 6]$

---

Пример 4: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

При каких значениях $a$ уравнение $ax - 2 > ax + 1$ не имеет решения?

Решение:

Вычесть $ax$ из обеих частей уравнения: $-2 > 1$

Это утверждение всегда ложно, независимо от значения $a$.

Следовательно, неравенство не имеет решения для всех действительных значений $a$.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$ (все действительные числа)

Составные неравенства

Тип «И» (пересечение)

$a < x$ и $x < b$ означают $a < x < b$

Пример: $-3 < 2x + 1 < 7$

Решить как: $-3 < 2x + 1$ И $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

Решение: $-2 < x < 3$ или $(-2, 3)$

Тип «Или» (объединение)

$x < a$ ИЛИ $x > b$

Пример: $3x - 2 < 1$ ИЛИ $3x - 2 > 7$

Решите каждое из следующих заданий:

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

Решение: $x < 1$, $x > 3$ или $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

Распространенные ошибки

❌ Ошибка № 1: забыть перевернуть табличку

Неправильно: $-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

Правильно: $-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ Ошибка 2: Неправильные действия с дробями

Неправильно: Умножить $\dfrac{x}{2} > 3$ на 2, чтобы получить $x > 1.5$ ✗

Правильно: $\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ Ошибка 3: Неправильное обозначение интервала

Неверно: $x > 3$ означает $(3, \infty]$ ✗

Правильно: $x > 3$ означает $(3, +\infty)$ ✓

Советы по учебе

1. ✅ Отмечайте направление неравенства: следите за ним на каждом этапе
2. ✅ Выделить отрицательные множители: для них необходимо изменить знак
3. ✅ Проверьте с помощью контрольных значений: убедитесь, что ваш ответ делает исходное утверждение верным
4. ✅ Нарисуйте числовую прямую: визуализируйте множество решений

---

💡 Совет по сдаче экзамена: Самая распространенная ошибка — забыть изменить знак неравенства при делении на отрицательное число. Обязательно выделяйте этот шаг!