区间qūjiān

Основная концепция

Интервал представляет непрерывное подмножество действительных чисел. Интервальная запись обеспечивает компактный способ описания диапазонов чисел на числовой прямой.

Определение

Интервал - это множество всех действительных чисел между двумя концевыми точками $a$ и $b$, где $a \leq b$.

Четыре основных типа

Тип 1: Замкнутый интервал $[a, b]$

$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$

Обе концевые точки включены.

Пример: $[1, 5]$ содержит $1, 2, 3, 4, 5$ и все действительные числа между ними.

---

Тип 2: Открытый интервал $(a, b)$

$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$

Обе концевые точки исключены.

Пример: $(1, 5)$ содержит все числа между $1$ и $5$, но не сами $1$ и $5$.

---

Тип 3: Полуоткрытый интервал $[a, b)$

$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$

Левая концевая точка включена, правая исключена.

Пример: $[1, 5)$ содержит $1$, но не $5$.

---

Тип 4: Полуоткрытый интервал $(a, b]$

$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

Левая концевая точка исключена, правая включена.

Пример: $(1, 5]$ содержит $5$, но не $1$.

Неограниченные интервалы

Интервалы могут простираться до бесконечности:

Запись	Описание	Множественная запись
$[a, +\infty)$	Все $x \geq a$	$\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(a, +\infty)$	Все $x > a$	$\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$(-\infty, b]$	Все $x \leq b$	$\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	Все $x < b$	$\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, +\infty)$	Все действительные числа	$\mathbb{R}$

Важно: Бесконечность всегда записывается с круглыми скобками, так как $\infty$ не является концевой точкой.

Правила скобок

Скобка	Значение	Символ
$[$ или $]$	Концевая точка включена	Закрашенная точка
$($ или $)$	Концевая точка исключена	Открытая точка

Операции над интервалами

Пересечение

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

Общие элементы обоих интервалов.

Объединение

$[1, 3] \cup [5, 7] = [1, 3] \cup [5, 7]$

Все элементы, принадлежащие хотя бы одному интервалу.

Дополнение

$[1, 5]^c = (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

Все действительные числа, не входящие в интервал.

Практические задачи CSCA

1. Запишите множество решений $-2 < x \leq 5$ в интервальной записи.

2. Вычислите: $[0, 4] \cap (2, 6]$

3. Определите дополнение $(1, 3)$ относительно $\mathbb{R}$.

4. Если $A = [-1, 3]$ и $B = (0, 5)$, найдите $A \cup B$ и $A \cap B$.

---

Ответы:

1. $(-2, 5]$
2. $(2, 4]$
3. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$
4. $A \cup B = [-1, 5)$, $A \cap B = (0, 3]$

---

Совет по изучению: Интервальная запись является основой для понимания областей определения функций и решений неравенств на экзаменах CSCA!