区间qūjiān

Основная концепция

Интервал — это множество действительных чисел, лежащих между двумя крайними точками. Обозначение интервала позволяет лаконично представлять непрерывные подмножества действительных чисел.

Четыре типа ограниченных интервалов

Тип	Обозначения	Конструктор наборов	Описание
Закрыто	$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Включает обе конечные точки
Открыть	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	Исключает обе конечные точки
Наполовину открытый (слева)	$(a, b]$	$\{x \mid a < x \leq b\}$	Исключает левую сторону, включает правую
Наполовину открытый (справа)	$[a, b)$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Включает левую сторону, исключает правую

Неограниченные интервалы

Обозначения	Конструктор наборов	Описание
$[a, +\infty)$	$\{x \mid x \geq a\}$	Все числа, не меньшие, чем a
$(a, +\infty)$	$\{x \mid x > a\}$	Все числа, большие чем a
$(-\infty, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	Все числа, не превышающие b
$(-\infty, b)$	$\{x \mid x < b\}$	Все числа < b
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	Все действительные числа

Важно: при обозначении символа бесконечности всегда используются круглые скобки (ни в коем случае не квадратные), поскольку ±∞ не являются действительными числами.

Правила проведения турнира

• Квадратные скобки [ ]: Конечная точка ВКЛЮЧЕНА (≤ или ≥)
• Круглые скобки ( ): конечная точка НЕ включается (< или >)
• Infinity: Всегда использует круглые скобки

Операции с интервалами

Пересечение интервалов

$[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$

Рассмотрим область перекрытия:

• Левая конечная точка: max(1, 3) = 3
• Правая конечная точка: min(5, 8) = 5

Объединение интервалов

$[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$

Если интервалы пересекаются, объедините их.

$[1, 2] \cup [4, 5]$ cannot be simplified (disjoint intervals)

Дополнение интервалов

Если $A = [2, 5]$ и $U = \mathbb{R}$: $\complement_{\mathbb{R}} A = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$

Примечание: закрытая конечная точка → открытая, открытая конечная точка → закрытая.

Примеры решений

Пример 1: Преобразование неравенства в интервал

Исходные данные: $-3 < x \leq 7$

Ответ: $(-3, 7]$

Пример 2: Преобразование интервала в неравенство

Исходные данные: $[-2, 4)$

Ответ: $-2 \leq x < 4$

Пример 3: Пересечение интервалов

Исходные данные: $A = [-1, 4]$, $B = (2, 6)$

Найти: $A \cap B$

Решение:

• Левая конечная точка: max(-1, 2) = 2, скобка: ( (открытая, от B)
• Правая конечная точка: min(4, 6) = 4, скобка: ] (закрытая, от A)

Ответ: $(2, 4]$

Пример 4: Объединение интервалов

Исходные данные: $A = (-\infty, 3)$, $B = [1, +\infty)$

Найти: $A \cup B$

Решение: Поскольку 1 < 3, интервалы пересекаются и охватывают все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

Практические задачи по CSCA

💡 Примечание: Приведенные ниже практические задачи составлены в соответствии с программой экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый уровень (Сложность ★☆☆☆☆)

Запишите неравенство $2 \leq x < 6$ в виде интервального выражения.

Варианты:

• A. $(2, 6]$
• B. $[2, 6)$
• C. $(2, 6)$
• D. $[2, 6]$

Решение:

• $x \geq 2$: использовать [
• $x < 6$: использовать )

Ответ: B

---

Пример 2: Средний уровень (сложность ★★★☆☆)

Найдите $[-3, 2] \cap (0, 5]$.

Решение:

• Левая конечная точка: max(-3, 0) = 0, скобка: ( (от B, открытая)
• Правая конечная точка: min(2, 5) = 2, скобка: ] (от A, закрытая)

Ответ: $(0, 2]$

---

Пример 3: Продвинутый уровень (Сложность ★★★★☆)

Если $A = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \leq 0\}$, укажите A в интервальной нотации.

Решение:

Разберите квадратичное уравнение на множители: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$

Парабола открыта вверх, поэтому между корнями выполняется неравенство: $1 \leq x \leq 4$

Ответ: $[1, 4]$

Длина интервала

Для ограниченного интервала $[a, b]$: $\text{Length} = b - a$

Пример: Длина $[-2, 5]$ равна $5 - (-2) = 7$

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Использование скобок с бесконечностью

Неправильно: $[2, +\infty]$ ✗

Правильно: $[2, +\infty)$ ✓

❌ Ошибка 2: Неправильная конечная точка после пересечения

Неправильно: $[1, 5] \cap [3, 8] = [1, 8]$ ✗

Правильно: $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ ✓

❌ Ошибка 3: Забыть изменить тип скобок при указании дополнения

Неверно: Дополнением к $[a, b]$ является $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$ ✗

Правильно: Дополнением к $[a, b]$ является $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$ ✓

❌ Ошибка 4: Предположение о пустом перекрестке

Два отрезка имеют пустое пересечение только в том случае, если они вообще не пересекаются.

$[1, 3] \cap [3, 5] = \{3\}$ (одноточечный, не пустой!)

Советы по учебе

1. ✅ Запомните значение скобок: [ ] включает, ( ) исключает
2. ✅ ∞ всегда заменяется на ( ): Никогда не используйте скобки с символом бесконечности
3. ✅ Пересечение = перекрытие: возьмите общую область
4. ✅ Обратные знаки скобок: [ ↔ ) и ] ↔ (

---

💡 Совет к экзамену: При решении квадратичных неравенств всегда рисуйте параболу, чтобы правильно определить интервал решений!