union | CSCA Math Glossary

Основная концепция

Объединение двух множеств A и B, обозначаемое A ∪ B, — это множество всех элементов, принадлежащих A или B (или обоим).

Математическое определение

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ или } x \in B\}$

Элемент принадлежит объединению, если он принадлежит хотя бы одному из двух множеств.

Основные свойства

1. Коммутативность

$A \cup B = B \cup A$

2. Ассоциативность

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. Свойство нейтрального элемента

$A \cup \emptyset = A$ (пустое множество — нейтральный элемент)

4. Идемпотентность

$A \cup A = A$

5. Объединение с универсальным множеством

$A \cup U = U$ (где U — универсальное множество)

Формула мощности

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Эта формула учитывает, что общие элементы не должны считаться дважды.

Примеры

Пример 1: Конечные множества

Дано: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Найти: A ∪ B

Решение: Все элементы из обоих множеств: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Пример 2: Объединение интервалов

Дано: A = [-2, 3], B = [1, 5]

Найти: A ∪ B

Решение: Объединение интервалов — [-2, 5]

Ответ: A ∪ B = [-2, 5]

Практические задачи CSCA

Пример 1: Базовый (Сложность ★☆☆☆☆)

Если A = {a, b, c, d} и B = {c, d, e, f}, найдите A ∪ B.

Решение: Все элементы: a, b, c, d, e, f

Ответ: {a, b, c, d, e, f}

Пример 2: Средний (Сложность ★★★☆☆)

Если |A| = 5, |B| = 4 и |A ∩ B| = 2, найдите |A ∪ B|.

Решение: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7$

Ответ: 7

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Если A ∪ B = A, какова связь между множествами A и B?

Решение: Если A ∪ B = A, то каждый элемент B также должен быть в A.

Ответ: B ⊆ A (B является подмножеством A)

Распространённые ошибки

Ошибка 1: Путаница между объединением и пересечением

Неправильно: A ∪ B включает только общие элементы

Правильно: A ∪ B включает все элементы обоих множеств

Ошибка 2: Двойной подсчёт мощности

Неправильно: |A ∪ B| = |A| + |B|

Правильно: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Советы по изучению

Мышление "ИЛИ": Объединение означает ИЛИ — элемент должен принадлежать ХОТЯ БЫ ОДНОМУ множеству
Рисуйте диаграммы Венна: Визуальное представление помогает избежать ошибок
Запомните формулу мощности: Всегда вычитайте пересечение!

Совет для экзамена: Для задач на мощность всегда используйте формулу |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|!

并集bìngjí