补集bǔjí

Основная концепция

Дополнение множества A, обозначаемое как $\complement_U A$ или $\overline{A}$ или $A^c$, — это множество всех элементов универсального множества U, которые НЕ принадлежат A.

Математическое определение

$\complement_U A = \{x | x \in U \text{ и } x \notin A\}$

Дополнение содержит именно те элементы, которые принадлежат универсальному множеству, но не принадлежат A.

Варианты обозначений

• $\complement_U A$ - Стандартное обозначение с указанием универсального множества
• $\overline{A}$ - Обозначение с чертой
• $A^c$ или $A'$ - Надстрочное обозначение
• $U - A$ - Обозначение разности множеств

Визуальное представление

На диаграмме Венна дополнение — это область вне множества A, но внутри универсального множества.

  U: [#############]
     [####]  A  [  ]

Заштрихованная область [####] представляет $\complement_U A$.

Основные свойства

1. Дополнение дополнения

$\complement_U(\complement_U A) = A$

2. Дополнение универсального множества

$\complement_U U = \emptyset$

3. Дополнение пустого множества

$\complement_U \emptyset = U$

4. Объединение с дополнением

$A \cup \complement_U A = U$

5. Пересечение с дополнением

$A \cap \complement_U A = \emptyset$

6. Законы Де Моргана

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$ $\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

Примеры

Пример 1: Конечные множества

Дано: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}

Найти: $\complement_U A$

Решение: Элементы в U, но не в A: 1, 3, 5

Ответ: $\complement_U A$ = {1, 3, 5}

Пример 2: Множества вещественных чисел

Дано: U = ℝ, A = {x | x ≥ 2}

Найти: $\complement_U A$

Решение: Вещественные числа, которые НЕ ≥ 2, то есть < 2

Ответ: $\complement_U A$ = {x | x < 2} = (-∞, 2)

Пример 3: Дополнение интервала

Дано: U = ℝ, A = (-1, 3]

Найти: $\complement_U A$

Решение: Все вещественные числа, кроме тех, что в (-1, 3]

Ответ: $\complement_U A$ = (-∞, -1] ∪ (3, +∞)

Практические задачи CSCA

💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA.

Пример 1: Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Если U = {1, 2, 3, 4, 5} и A = {1, 3, 5}, найдите $\complement_U A$.

Варианты:

• A. {1, 3, 5}
• B. {2, 4}
• C. {1, 2, 3, 4, 5}
• D. ∅

Решение: Элементы в U, но не в A: 2, 4

Ответ: B

---

Пример 2: Средний (Сложность ★★★☆☆)

Дано U = ℝ, A = {x | x² - 4 ≤ 0}, найдите $\complement_U A$.

Решение:

Сначала решим неравенство: $x² - 4 ≤ 0$ $(x-2)(x+2) ≤ 0$ $A = [-2, 2]$

Дополнение — все вещественные числа вне этого интервала: $\complement_U A = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

---

Пример 3: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Если U = ℝ, A = {x | x > 1}, B = {x | x > 2}, найдите $\complement_U A \cup B$.

Решение:

$\complement_U A$ = {x | x ≤ 1} = (-∞, 1] B = {x | x > 2} = (2, +∞)

$\complement_U A \cup B = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

Ответ: $(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

Законы Де Моргана подробно

Закон 1: Дополнение объединения

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$

Пример: Если A = {1, 2}, B = {2, 3}, U = {1, 2, 3, 4}

• A ∪ B = {1, 2, 3}
• $\complement_U(A \cup B)$ = {4}
• $\complement_U A$ = {3, 4}, $\complement_U B$ = {1, 4}
• $\complement_U A \cap \complement_U B$ = {4} ✓

Закон 2: Дополнение пересечения

$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Забыть об универсальном множестве

Неправильно: $\complement A$ = {все элементы не в A} ✗

Правильно: $\complement_U A$ = {элементы в U, но не в A} ✓

❌ Ошибка 2: Неправильная граница интервала

Неправильно: Если A = [1, 3], то $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1] ∪ [3, +∞) ✗

Правильно: $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ✓

❌ Ошибка 3: Ошибка знака в законах Де Моргана

Неправильно: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cup \complement B$ ✗

Правильно: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cap \complement B$ ✓

Советы по изучению

1. ✅ Всегда сначала определите U: Универсальное множество определяет дополнение
2. ✅ Инвертируйте границы для интервалов: Открытая ↔ закрытая при взятии дополнения
3. ✅ Освойте законы Де Моргана: "Разбиваем черту, меняем знак"
4. ✅ Двойное дополнение возвращает исходное: $\complement(\complement A) = A$

---

💡 Совет для экзамена: При взятии дополнения интервалов помните: закрытая граница становится открытой, а открытая становится закрытой!