交集jiāojí

Основная концепция

Пересечение двух множеств A и B, обозначаемое A ∩ B, — это множество всех элементов, принадлежащих как A, так и B.

Математическое определение

$A \cap B = \{x | x \in A \text{ и } x \in B\}$

Элемент принадлежит пересечению тогда и только тогда, когда он принадлежит обоим множествам.

Основные свойства

1. Коммутативность

$A \cap B = B \cap A$

2. Ассоциативность

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

3. Свойство единицы

$A \cap U = A$ (где U — универсальное множество)

4. Пересечение с пустым множеством

$A \cap \emptyset = \emptyset$

Примеры

Пример 1: Конечные множества

Дано: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Найти: A ∩ B

Решение: Общие элементы: 3, 4, 5

Ответ: A ∩ B = {3, 4, 5}

Пример 2: Пересечение интервалов

Дано: A = [-2, 5], B = [1, 8]

Найти: A ∩ B

Решение: Пересечение интервалов — [1, 5]

Ответ: A ∩ B = [1, 5]

Практические задачи CSCA

Пример 1: Базовый (Сложность ★☆☆☆☆)

Если A = {a, b, c, d} и B = {c, d, e, f}, найдите A ∩ B.

Решение: Общие элементы: c, d

Ответ: {c, d}

Пример 2: Продвинутый (Сложность ★★★★☆)

Если A ∩ B = A, какова связь между множествами A и B?

Решение: Если A ∩ B = A, то каждый элемент A также должен быть в B.

Ответ: A ⊆ B (A является подмножеством B)

Распространённые ошибки

❌ Ошибка 1: Путаница между пересечением и объединением

Неправильно: A ∩ B включает все элементы обоих множеств ✗

Правильно: A ∩ B включает только общие элементы ✓

Советы по изучению

1. ✅ Мышление "И": Пересечение означает И — элемент должен удовлетворять ОБА условия
2. ✅ Рисуйте диаграммы Венна: Визуальное представление помогает избежать ошибок

---

💡 Совет для экзамена: Задачи на пересечение часто сочетаются с квадратичными неравенствами. Всегда сначала решите неравенство, затем найдите пересечение!