绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

Основная концепция

Неравенство с абсолютным значением содержит символы абсолютного значения. Для его решения требуется анализ случаев на основе определения или использование геометрического значения абсолютного значения.

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ Определение### Геометрическое значение $|x|$ представляет расстояние от точки$x$ до начала координат на числовой прямой. $|x - a|$ представляет расстояние от точки$x$ до точки$a$ .

Основные типы

Тип 1:

$|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$

Пример: Решите$|x - 2| < 3$ Решение:

---

$-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

Тип 2:

$|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$

Пример: Решите$|2x + 1| > 5$ Решение: $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

Тип 3: Сумма расстояний

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$ Равенство выполняется, когда$x$ находится между$a$ и$b$ .

Неравенство треугольника

$|a + b| \leq |a| + |b|$

Равенство выполняется, когда$ab \geq 0$ .

Распространенные заблуждения

❌ Заблуждение 1: Неверное решение для

$|x| < a$

Неверно:$|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ или $x < 2$

Верно: $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ Заблуждение 2: Объединение и пересечение

Неверно: $|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

Верно:$|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ или $x > 2$

Советы по изучению

1. ✅ Освойте основные формулы:$|x| < a$ и $|x| > a$
2. ✅ Поймите геометрию: понятие расстояния
3. ✅ Практикуйтесь в анализе примеров: метод нулевой точки
4. ✅ Запомните неравенство треугольника:$|a + b| \leq |a| + |b|$

---

💡 Совет по экзамену: неравенства с абсолютными значениями часто встречаются в экзаменах CSCA!