二次方程èrcì fāngchéng

Основная концепция

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, в котором наивысшая степень переменной равна 2. Это один из самых фундаментальных типов уравнений в алгебре.

Стандартная

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ форма

где: -$a$ — коэффициент$x^2$ (не может быть равен 0) -$b$ — коэффициент $x$ -$c$ — постоянный член -$x$ — переменная

Методы решения

Метод 1: Разложение на множители

Когда уравнение можно разложить на множители, это самый прямой подход.

Пример:$x^2 - 5x + 6 = 0$ Шаг 1: Разложите на $(x - 2)(x - 3) = 0$ множителиШаг 2: Установите каждый множитель равным нулю

$x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ Ответ:$x = 2$ или $x = 3$

Метод 2: Дополнение до квадрата

Преобразуйте уравнение в совершенный квадрат.

Пример:$x^2 + 6x + 5 = 0$ Шаг 1: $x^2 + 6x = -5$ ПерегруппируйтеШаг 2: Дополните $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ квадратШаг 3: Возьмите квадратный $x + 3 = \pm 2$ корень

Ответ:$x = -1$ или$x = -5$

Метод 3: Квадратичная формула

Этот универсальный метод работает для всех квадратичных уравнений:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ где$\Delta = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом.

Анализ дискриминанта

-$\Delta > 0$ : Два различных действительных корня -$\Delta = 0$ : Два одинаковых действительных корня (повторяющийся корень) -$\Delta < 0$ : Нет действительных корней (два комплексных сопряженных корня)

Формулы Виеты

Если$x_1$ и$x_2$ являются корнями$ax^2 + bx + c = 0$ , то:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (сумма корней)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (произведение корней)

Применение в реальной жизни

Применение 1: Задача на площадь

Задача: Прямоугольный участок имеет длину на 4 м больше ширины. Площадь составляет 60 м². Найдите размеры.

Решение: Пусть ширина =$x$ , тогда длина = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

Ответ: Ширина = 6 м, длина = 10 м (отбросить отрицательное значение)

Применение 2: Движение снаряда

Задача: Объект брошен вверх на высоту$h = 20t - 5t^2$ (метров). Когда он упадет на землю?

Решение: Пусть $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

Ответ:$t = 4$ секунд ($t = 0$ — время запуска)

Применение 3: Максимизация прибыли

Задача: Продукт по цене$x$ продается$(100-x)$ единиц в день. Стоимость — 40 долларов за единицу. Найдите оптимальную цену.

Функция прибыли: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ Максимум: В $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$ вершине

Ответ: Цена 70 долларов максимизирует прибыль

Практические задачи CSCA

> 💡 Примечание: Следующие практические задачи разработаны на основе программы экзамена CSCA и форматов стандартизированных тестов в Китае, чтобы помочь студентам ознакомиться с типами вопросов и подходами к решению задач.

Пример 1: базовый (сложность ★★☆☆☆)

Решите путем разложения на множители: $x^2 - 7x + 12 = 0$

Варианты:

• A.$x = 2$ или $x = 5$
• B.$x = 3$ или $x = 4$
• C.$x = 1$ или $x = 12$
• D.$x = -3$ или$x = -4$ Решение:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ Ответ: B

---

Пример 2: средний уровень (сложность ★★★☆☆)

Если$x^2 - 6x + k = 0$ имеет два равных действительных корня, найдите$k$ .

Решение:

Равные корни означают,$\Delta = 0$ что :

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ Ответ:

---$k = 9$

Пример 3: продвинутый уровень (сложность ★★★★☆)

Если$x_1$ ,$x_2$ являются корнями$x^2 - 3x - 1 = 0$ , найдите$x_1^2 + x_2^2$ без решения.

Решение:

По формулам Виеты: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ Используя тождество:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ Ответ: $11$

Распространенные ошибки

❌ Ошибка 1: Забыть

$a \neq 0$

Неправильно:$0x^2 + 3x + 2 = 0$ — это квадратное уравнение ✗

Правильно: Когда$a = 0$ , оно становится линейным уравнением ✓

❌ Ошибка 2: Неправильный знак в квадратичной формуле

Неправильно: ✗$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

Правильно: ✓$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ Ошибка 3: Ошибка в знаке формулы Виета

Неправильно:$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Правильно: ✓$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ Ошибка 4: Непроверка посторонних решений

Исправление: В реальных задачах проверяйте, имеют ли решения физический смысл (например, длины не могут быть отрицательными).

Советы по изучению

1. ✅ Освойте все три метода: факторизация — самый быстрый, доведение до квадрата демонстрирует концепцию, формула — универсальна.
2. ✅ Дискриминант — ключ: всегда вычисляйте$\Delta$ для определения типов корней.
3. ✅ Формулы Виеты проверяются: практикуйтесь в нахождении выражений без решения.
4. ✅ Проверяйте ответы в реальных условиях: отбрасывайте неразумные решения.

---

💡 Совет по экзамену: квадратные уравнения являются основным содержанием алгебры CSCA, составляя около 60% задач по уравнениям. Запомните формулу и формулы Виеты!