复数fùshù

Основное понятие

Комплексное число — это расширение вещественных чисел, имеющее вид$z = a + bi$

, где$a, b$

— вещественные числа, а$i$

— мнимая единица.

Мнимая единица

Мнимая единица$i$

удовлетворяет$i^2 = -1$

условию .

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Степени$i$

:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

-$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

Форма комплексных чисел

$z = a + bi$

Где: -$a$

— действительная часть, обозначается $\text{Re}(z)$

-$b$

— мнимая часть, обозначается $\text{Im}(z)$

• Когда$b = 0$

,$z$

— действительное число

• Когда$a = 0, b \neq 0$

,$z$

— чистое мнимое число

• Когда$b \neq 0$

,$z$

— мнимое число

Комплексное равенство$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Комплексная плоскость

Геометрическое представление

Комплексное число$z = a + bi$

может быть представлено точкой$(a, b)$

в комплексной плоскости:

• Горизонтальная ось (реальная ось): представляет действительную часть
• Вертикальная ось (мнимая ось): представляет мнимую часть

Векторное представление

Комплексное число $z = a + bi$

также можно рассматривать как вектор$\overrightarrow{OZ}$

от начала координат$O$

до точки$(a, b)$

.

Модуль комплексных чисел

Определение

Модуль комплексного числа$z = a + bi$

, обозначаемый$|z|$

:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Геометрическое значение

$|z|$

представляет собой расстояние от точки$z$

до начала координат в комплексной плоскости.

Свойства

1.$|z| \geq 0$

, с равенством, если и$z = 0$

только если 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(неравенство треугольника)

Сопряженное

Определение

Сопряженное комплексное число$z = a + bi$

, обозначаемое$\bar{z}$

:

$\bar{z} = a - bi$

Геометрическое значение

$\bar{z}$

является отражением$z$

по оси.

Свойства

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Операции

Сложение и

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

вычитание###

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Умножение### Деление

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Метод: Умножьте числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.

Практические задачи CSCA

[Пример 1] Базовый (Сложность ★★☆☆☆)

Дано комплексное число$z = 3 + 4i$

, найдите$|z|$

и$\bar{z}$

.

Решение:

Модуль: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Сопряженное:

$\bar{z} = 3 - 4i$

Ответ:$|z| = 5$

, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Пример 2] Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Вычислите$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

Решение:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Ответ: $8 - i$

Распространенные заблуждения

❌ Заблуждение 1: Рассмотрение$i$

как переменной

Неправильно: Считать, что$i$

можно упростить, как алгебраические переменные

Правильно:$i$

— это мнимая единица с$i^2 = -1$

, а не переменная

❌ Заблуждение 2: Неправильный расчет модуля

Неправильно: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Правильно: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Заблуждение 3: Неправильный знак сопряженного

Неправильно:$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Правильно:$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(знак меняет только мнимая часть)

Советы по изучению

1. ✅ Понять мнимую единицу:$i^2 = -1$

является фундаментальной 2. ✅ Освоить операции: сложение, вычитание, умножение, деление 3. ✅ Запомнить модуль и сопряженное: их геометрические значения и свойства 4. ✅ Практикуйтесь в делении: ключевым моментом является рационализация знаменателя 5. ✅ Поймите геометрию: точки и векторы в комплексной плоскости

---

💡 Совет по экзамену: Комплексные числа важны в математике старшей школы. Они относительно просты в экзаменах CSCA, но необходимо освоить основные операции и концепции! Они составляют около 10-15% задач по алгебре.