复数fùshù

Основная концепция

Комплексное число представляет собой расширение множества действительных чисел и имеет вид $z = a + bi$, где $a, b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица.

Мнимая единица

Мнимая единица $i$ удовлетворяет условию $i^2 = -1$.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Возможности $i$:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$
• $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

Вид комплексных чисел

$z = a + bi$

Где:

• $a$ — это настоящая деталь, обозначенная как $\text{Re}(z)$
• $b$ — это мнимая часть, обозначаемая как $\text{Im}(z)$
• Когда $b = 0$, $z$ — действительное число
• Когда $a = 0, b \neq 0$, $z$ является чисто мнимым числом
• Когда $b \neq 0$, $z$ является мнимым числом

Сложное равенство

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Комплексная плоскость

Геометрическое представление

Комплексное число $z = a + bi$ можно изобразить в виде точки $(a, b)$ на комплексной плоскости:

• Горизонтальная ось (ось действительных чисел): Обозначает действительную часть
• Вертикальная ось (воображаемая ось): обозначает мнимую часть

Векторное представление

Комплексное число $z = a + bi$ также можно представить в виде вектора $\overrightarrow{OZ}$, направленного от начала координат $O$ к точке $(a, b)$.

Модуль комплексных чисел

Определение

Модуль комплексного числа $z = a + bi$, обозначенный как $|z|$:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Геометрический смысл

$|z|$ обозначает расстояние от точки $z$ до начала координат на комплексной плоскости.

Свойства

1. $|z| \geq 0$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $z = 0$
2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
3. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$)
4. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (неравенство треугольника)

Конъюгат

Определение

Сопряжённое комплексного числа $z = a + bi$, обозначаемое как $\bar{z}$:

$\bar{z} = a - bi$

Геометрический смысл

$\bar{z}$ — это отражение $z$ относительно оси реальных чисел.

Свойства

1. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
2. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
4. $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$
5. $z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Операции

Сложение и вычитание

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Умножение

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Отдел

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Метод: Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю

Практические задачи по курсу CSCA

[Пример 1] Базовый уровень (Сложность ★★☆☆☆)

Исходя из комплексного числа $z = 3 + 4i$, найдите $|z|$ и $\bar{z}$.

Решение:

Модуль: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Сопряжённое: $\bar{z} = 3 - 4i$

Ответ: $|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Пример 2] Средний уровень (Сложность ★★★☆☆)

Рассчитать $(2 + 3i)(1 - 2i)$.

Решение:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Ответ: $8 - i$

Распространённые заблуждения

❌ Заблуждение 1: Рассмотрение $i$ в качестве переменной

Неверно: Считать, что $i$ можно упростить ещё больше, как алгебраические переменные

Правильно: $i$ — это мнимая единица, связанная с $i^2 = -1$, а не переменная

❌ Заблуждение № 2: Неправильный расчет модуля

Неверно: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Правильно: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Заблуждение № 3: Неправильный знак сопряжения

Неправильно: $\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Правильно: $\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$ (знак меняется только у мнимой части)

Советы по учебе

1. ✅ Понимание мнимой единицы: $i^2 = -1$ — это основа
2. ✅ Основные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление
3. ✅ Помните о модуле и сопряжённом: их геометрический смысл и свойства
4. ✅ Практика деления: главное — упростить знаменатель
5. ✅ Понимание геометрии: Точки и векторы в комплексной плоскости

---

💡 Совет по сдаче экзамена: Комплексные числа играют важную роль в школьной математике. На экзаменах CSCA они даются относительно легко, но необходимо в совершенстве владеть основными операциями и понятиями! На них приходится примерно 10–15 % задач по алгебре.