二次函数èrcì hánshù

핵심 개념

이차함수는 차수가 2인 다항함수이다:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

여기서 $a$, $b$, $c$는 상수이고 $a \neq 0$이다.

세 가지 표현 형식

형식	표현식	핵심 특징
일반형	$y = ax^2 + bx + c$	y절편 $c$를 보여줌
꼭짓점형	$y = a(x-h)^2 + k$	꼭짓점 $(h, k)$를 보여줌
인수분해형	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	x절편 $x_1, x_2$를 보여줌

꼭짓점

꼭짓점은 포물선의 최고점 또는 최저점이다.

꼭짓점 좌표

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

또는 동치적으로: $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

꼭짓점형

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

여기서 $(h, k)$는 꼭짓점이다.

그래프의 성질

개구 방향

• $a > 0$: 포물선이 위로 열림 (U자형), 꼭짓점이 최솟값
• $a < 0$: 포물선이 아래로 열림 (∩자형), 꼭짓점이 최댓값

대칭축

$x = -\frac{b}{2a} = h$

포물선은 이 수직선에 대해 대칭이다.

Y절편

y절편은 $(0, c)$이며, $x = 0$을 대입하면 구할 수 있다.

X절편 (근)

$ax^2 + bx + c = 0$을 풀어서 구한다. 판별식 $\Delta = b^2 - 4ac$에 따라:

• $\Delta > 0$: 서로 다른 두 x절편
• $\Delta = 0$: 하나의 x절편 (꼭짓점이 x축에 접함)
• $\Delta < 0$: x절편 없음

단조성

$a > 0$일 때:

• $(-\infty, h]$에서 감소
• $[h, +\infty)$에서 증가

$a < 0$일 때:

• $(-\infty, h]$에서 증가
• $[h, +\infty)$에서 감소

치역

$a > 0$일 때:

$\text{치역} = [k, +\infty)$

$a < 0$일 때:

$\text{치역} = (-\infty, k]$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 교과 과정에 맞추어 설계되었습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$f(x) = x^2 - 6x + 5$의 꼭짓점을 구하시오.

풀이:

방법 1 (공식): $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

방법 2 (완전제곱식): $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

정답: 꼭짓점은 $(3, -4)$

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$f(x) = -x^2 + 4x - 1$의 $[0, 3]$에서의 치역을 구하시오.

풀이:

완전제곱식으로 변환: $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

꼭짓점이 $(2, 3)$이고, 포물선이 아래로 열린다.

$2 \in [0, 3]$이므로, 최댓값은 꼭짓점에서: $f(2) = 3$

끝점 확인:

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

최솟값은 $f(0) = -1$이다.

정답: 치역은 $[-1, 3]$

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예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = x^2 - 2ax + a$가 $[0, 2]$에서 최솟값이 $-2$일 때, $a$를 구하시오.

풀이:

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$, 꼭짓점은 $(a, a-a^2)$.

경우 1: $a < 0$ (꼭짓점이 구간 왼쪽에 위치) $x = 0$에서 최솟값: $f(0) = a = -2$ 검증: 꼭짓점이 $(-2, -2-4) = (-2, -6)$이지만, $f(0) = -2 \neq -6$. ✓ 따라서 $a = -2$가 성립한다.

경우 2: $0 \leq a \leq 2$ (꼭짓점이 구간 내부에 위치) 꼭짓점에서 최솟값: $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ 또는 $a = -1$ $[0, 2]$에 속하는 것은 $a = 2$뿐이다. 검증: $f(x) = (x-2)^2$, $x=2$에서 최솟값은 $0 \neq -2$. ✗

경우 3: $a > 2$ (꼭짓점이 구간 오른쪽에 위치) $x = 2$에서 최솟값: $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$, 이는 $a > 2$와 모순. ✗

정답: $a = -2$

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예제 4: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$이 모든 $x \in \mathbb{R}$에서 성립하도록 하는 $m$의 값의 범위를 구하시오.

풀이:

$f(x) > 0$이 모든 $x$에서 성립하려면, 포물선이 위로 열려야 하고 (✓, $a = 1 > 0$) x절편이 없어야 한다.

이를 위해 $\Delta < 0$이어야 한다: $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

정답: $m \in (-2, 2)$

형식 간 변환

일반형에서 꼭짓점형으로

$f(x) = ax^2 + bx + c$가 주어질 때:

1. 처음 두 항에서 $a$를 인수로 묶기: $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. 완전제곱식 만들기: $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. 정리: $f(x) = a(x - h)^2 + k$, 여기서 $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

꼭짓점형에서 일반형으로

$f(x) = a(x-h)^2 + k$가 주어질 때:

전개: $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

따라서 $b = -2ah$이고 $c = ah^2 + k$이다.

흔한 실수

❌ 실수 1: 꼭짓점 공식의 부호 오류

틀림: $h = \frac{b}{2a}$ ✗

맞음: $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ 실수 2: 치역을 구할 때 정의역 무시

틀림: $f(x) = x^2$의 $[1, 3]$에서의 치역이 $[0, +\infty)$ ✗

맞음: $[1, 3]$에서 최솟값은 $f(1) = 1$이므로, 치역은 $[1, 9]$ ✓

❌ 실수 3: 꼭짓점 위치 판단 오류

정의역이 제한되면 꼭짓점이 정의역 밖에 있을 수 있다. 꼭짓점이 구간 내부, 왼쪽, 오른쪽 중 어디에 있는지 확인해야 한다.

학습 팁

1. ✅ 완전제곱식 변환을 숙달하기: 꼭짓점을 구하는 데 필수적
2. ✅ 세 가지 경우를 기억하기: 꼭짓점이 구간 내부, 왼쪽 또는 오른쪽에 위치
3. ✅ 판별식 활용하기: x축과의 교점에 관한 문제에 사용
4. ✅ 그래프 그리기: 포물선을 시각화하여 오류 방지

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💡 시험 팁: 정의역이 제한된 문제에서는 먼저 꼭짓점의 위치를 정의역에 대해 파악하고, 그 다음 끝점을 확인하세요. 극값은 꼭짓점 (정의역 내에 있을 경우) 또는 끝점에서 발생합니다!