导数dǎoshù

핵심 개념

미분은 미적분학의 핵심 개념으로, 주어진 점에서 함수의 순간적 변화율을 나타냅니다. 기하학적으로는 그 점에서 곡선에 대한 접선의 기울기를 나타냅니다.

수학적 정의

함수 의$y = f(x)$

점 에서의 미분은$x_0$

다음과 같이 정의됩니다:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

이 극한이 존재하면, 함수$f(x)$

는 에서 **미분$x_0$

가능**하다고 말한다.

미분 기호

-$f'(x)$

• 라그랑주 기호 -$\frac{dy}{dx}$

• 라이프니츠 기호 -$y'$

• 약식 -$\frac{df}{dx}$

• 미분 형식

일반적인 미분 공식

기본 함수

1. 상수: $(C)' = 0$

2. 지수: $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. 지수:$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. 로그: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. 삼각함수:

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

미분 규칙

1. 합/차:$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. 곱: $(fg)' = f'g + fg'$

3. 몫: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. 연쇄: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

응용

1. 접선 구하기

곡선 의$y = f(x)$

접선 (점 에서$(x_0, f(x_0))$

):

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. 단조성 판단

-$f'(x) > 0$

→ 함수 증가 -$f'(x) < 0$

→ 함수 감소 -$f'(x) = 0$

→ 극값 가능

3. 극값 찾기

단계:

1. 미분계수 구하기$f'(x)$

2. 극점을 위한 $f'(x) = 0$

풀기 3. 극점 주변 부호 변화 확인하기

CSCA 연습문제

> 💡 참고: 아래 연습문제는 CSCA 시험 범위와 중국 표준 시험 형식을 바탕으로 제작되어 학생들이 문제 유형과 해결 방식을 익히는 데 도움을 줍니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

의 미분을$f(x) = x^3 + 2x$

구하시오.

해법:

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

점$(1, 1)$

에서$y = x^2$

에 대한 접선의 방정식을 구하시오.

해법:

1단계: 미분계수 구하기: $y' = 2x$

2단계$x=1$

: 점 에서의 기울기 구하기:$k = 2(1) = 2$

3단계: 접선 방정식 작성:

$y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

답안:

---$y = 2x - 1$

예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

의 극값을$f(x) = x^3 - 3x$

구하시오.

해법:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

임계점: $x = -1, 1$

• 최대값:$f(-1) = 2$

에서 $x = -1$

• 최소값:$f(1) = -2$

에서 $x = 1$

흔한 실수

❌ 실수 1:

$(x^2)' = 2$

수정:$(x^2)' = 2x$

, 2가 아님! 을 유지해야$x$

함.

❌ 실수 2:$(fg)' = f'g'$

수정: 곱의 미분법칙은 $(fg)' = f'g + fg'$

이지 가 아닙니다$f'g'$

!

❌ 실수 3:$f'(x_0) = 0$

가 항상 극값을 의미하는 것은 아님

수정:$f'(x_0) = 0$

는 단지 필요조건일 뿐입니다. 부호 변화는 반드시 확인해야 합니다.

학습 팁

1. ✅ 정의 이해: 미분 = 순간적 변화율 = 접선의 기울기
2. ✅ 공식을 암기하라: 기본 미분과 규칙을 익히세요
3. ✅ 연습하라: 특히 연쇄 법칙 적용 문제
4. ✅ 응용: 미분은 최적화 문제에 널리 사용됩니다

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💡 시험 팁: 미분은 CSCA 수학 문제의 약 15%를 차지합니다. 기본 미분과 기하학적 응용을 완벽히 숙지하세요!