定义域dìngyì yù

핵심 개념

함수의 정의역은 독립 변수가 취할 수 있는 모든 가능한 값의 집합입니다. 간단히 말해, “함수가 받아들일 수 있는 입력값”을 의미합니다.

수학적 정의

함수 $y = f(x)$의 정의역은 해당 함수가 정의된 모든 $x$ 값의 집합이며, 이를 $D_f$ 또는 $\text{dom}(f)$로 표기한다:

$D_f = \{x \mid f(x) \text{ is defined}\}$

도메인 찾기 원칙

1. 유리함수: 분모 ≠ 0

$f(x) = \frac{1}{x-2}$

도메인: $x - 2 \neq 0$, 따라서 $x \neq 2$

$D_f = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

2. 짝수 차근: 근호 ≥ 0

$f(x) = \sqrt{x - 1}$

도메인: $x - 1 \geq 0$, 따라서 $x \geq 1$

$D_f = [1, +\infty)$

3. 로그: 인수 > 0

$f(x) = \log_2(x + 3)$

도메인: $x + 3 > 0$, 따라서 $x > -3$

$D_f = (-3, +\infty)$

4. 0의 지수: 기수 ≠ 0

$f(x) = (x-1)^0$

도메인: $x - 1 \neq 0$, 따라서 $x \neq 1$

5. 실제 문제: 의미 있는 가치

면적, 길이, 시간은 양수여야 합니다.

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 커리큘럼과 중국 표준화 시험 형식을 바탕으로 제작되었으며, 학생들이 문제 유형과 문제 해결 방법을 익힐 수 있도록 돕기 위한 것입니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$f(x) = \sqrt{x+2}$의 정의역을 구하시오.

옵션:

• A. $x > -2$
• B. $x \geq -2$
• C. $x > 0$
• D. $x \geq 0$

해결책:

제곱근의 피제수(radicand)도 0 이상이어야 합니다: $x + 2 \geq 0$ $x \geq -2$

정답: B

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예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$의 정의역을 구하시오.

해결책:

다음 조건을 충족해야 합니다:

1. $4 - x^2 > 0$ (분모 ≠ 0이고 근호 안의 수 > 0)
2. 해답: $x^2 < 4$, 따라서 $-2 < x < 2$

답변: $(-2, 2)$

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예제 3: 상급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\log_2(3-x)}$의 정의역을 구하시오.

해결책:

다음 조건을 충족해야 합니다:

1. $x - 1 \geq 0$ → $x \geq 1$
2. $3 - x > 0$ → $x < 3$
3. $\log_2(3-x) \neq 0$ → $x \neq 2$

통합: $x \in [1, 2) \cup (2, 3)$

흔히 저지르는 실수

❌ 실수 1: $\sqrt{x^2} = x$

정정: $\sqrt{x^2} = |x|$이며, $x$가 아닙니다!

❌ 실수 2: 분모 ≠ 0인 점을 간과함

$f(x) = \frac{x}{x-1}$의 경우, 반드시 $x \neq 1$를 확인해야 합니다.

❌ 실수 3: 로그의 인수 > 0, ≥ 0이 아님

$f(x) = \ln(x)$의 경우, 도메인은 $x \geq 0$가 아니라 $x > 0$입니다!

공부 요령

1. ✅ 체계적으로 확인: 유리수, 근수, 로그 조건
2. ✅ 교집합 찾기: 여러 조건 → 교집합 구하기
3. ✅ 음정 표기법: 올바른 음정 표기법을 사용하십시오
4. ✅ 진정한 의미: 단어 문제를 풀 때 실질적인 제약을 고려하라

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💡 시험 팁: ‘도메인’은 함수 문제에서 가장 기본적인 개념입니다. 거의 모든 함수 문제에서 도메인이 등장합니다. 모든 유형을 확실히 익히세요!