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Functions - Practice Questions (29)

Question 1: 函数 $f ( x ) = \sqrt { x + 3 } + \frac { 2 } { x - 1 }$ 的定义域是（ ）.

函数 $f ( x ) = \sqrt { x + 3 } + \frac { 2 } { x - 1 }$ 的定义域是（ ）.

  • A. A. $\{ x \mid x \geq - 3 \}$
  • B. B. $\{ x \mid x \neq 1 \}$
  • C. C. $\{ x \mid x > - 3$ 且 $x \neq 1 \}$
  • D. D. $\{ x \mid x \geq - 3$ 且 $x \neq 1 \}$

Answer: D

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据具体函数定义域的求法列不等式,解不等式组即可. 【详解】由已知 $f ( x ) = \sqrt { x + 3 } + \frac { 2 } { x - 1 }$ , 则 $\left\{ \begin{array} { l } x + 3 \geq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{array} \right.$ ,解得 $x \geq - 3$ 且 $x \neq 1$ , 即函数的定义域为 $\{ x \mid x \geq - 3$ 且 $x \neq 1 \}$ ,

Question 2: 函数 $y = 3 x ^ { 2 } + 7 x - 5$ 的定义域是（ ）

函数 $y = 3 x ^ { 2 } + 7 x - 5$ 的定义域是（ ）

  • A. A. R
  • B. B. N
  • C. C. Q
  • D. D. $[ 0 , + \infty )$

Answer: A

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次函数的定义可得答案. 【详解】由于 $y = 3 x ^ { 2 } + 7 x - 5$ 是二次函数,故其定义域为 $\mathbf { R }$ .

Question 3: 函数 $f ( x ) = \frac { \sqrt { 2 - x } } { x }$ 的定义域为（ ）

函数 $f ( x ) = \frac { \sqrt { 2 - x } } { x }$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $( - \infty , 2 ]$
  • B. B. $( - \infty , 0 )$
  • C. C. $( - \infty , 0 ) \cup ( 0,2 ]$
  • D. D. $( - \infty , 0 ) \cup ( 0,2 )$

Answer: C

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用函数定义域的求法可得答案. 【详解】由题意知 $\left\{ \begin{array} { l } 2 - x \geq 0 , \\ x \neq 0 , \end{array} \right.$ 得 $x \leq 2$ 且 $x \neq 0$ , 即定义域为 $( - \infty , 0 ) \cup ( 0,2 ]$ .

Question 4: 若 $f ( x ) = x ^ { 2 } - 1$ ,则 $f ( 2 ) =$（ ）

若 $f ( x ) = x ^ { 2 } - 1$ ,则 $f ( 2 ) =$（ ）

  • A. A. 3
  • B. B. 4
  • C. C. 5
  • D. D. 6

Answer: A

Solution: 【知识点】求函数值 【分析】自变量代入解析式求函数值. 【详解】由已知 $f ( 2 ) = 2 ^ { 2 } - 1 = 3$ .

Question 5: 下列各组函数中是同一个函数的是（）

下列各组函数中是同一个函数的是（）

  • A. A. $y = \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$ 与 $y = \frac { 1 } { x + 1 }$
  • B. B. $f ( x ) = | x |$ 与 $g ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }$
  • C. C. $f ( x ) = x ^ { 0 }$ 与 $g ( x ) = 1$
  • D. D. $f ( x ) = \sqrt { ( x - 2025 ) ^ { 2 } }$ 与 $g ( x ) = x - 2025$

Answer: B

Solution: 【知识点】具体函数的定义域,判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于 $\mathrm { A } , ~ y = \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$ 的定义域为 $\{ x \mid x \neq \pm 1 \}$ ,而 $y = \frac { 1 } { x + 1 }$ 的定义域为 $\{ x \mid x \neq - 1 \}$ ,两者相异,故 A 错误； 对于 B,两个函数的定义域均为 R ,且 $g ( x ) = | x | = f ( x )$ , 两个函数为同一函数,故 B 正确； 对于 $\mathrm { C } , ~ f ( x )$ 的定义域为 $\{ x \mid x \neq 0 \}$ ,而 $g ( x )$ 的定义域为 R , 故两者相异,故 C 错误； 对于 D,$f ( x ) = | x - 2025 |$ ,两个函数对应法则相异,故 D 错误.

Question 6: 已知 $f ( x ) = \sqrt { x + 5 }$ ,则定义域为（ ）

已知 $f ( x ) = \sqrt { x + 5 }$ ,则定义域为（ ）

  • A. A. $\{ x \mid x \geq 5 \}$
  • B. B. $\{ x \mid x > 5 \}$
  • C. C. $\{ x \mid x \geq - 5 \}$
  • D. D. $\{ x \mid x > - 5 \}$

Answer: C

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由根式的性质求函数的定义域. 【详解】由解析式知 $x + 5 \geq 0$ ,则 $X \geq - 5$ ,故定义域为 $\{ x \mid x \geq - 5 \}$ .

Question 7: 下列函数中,与函数 $f ( x ) = | x - 1 |$ 为同一函数的是（ ）

下列函数中,与函数 $f ( x ) = | x - 1 |$ 为同一函数的是（ ）

  • A. A. $h ( t ) = \sqrt { ( t - 1 ) ^ { 2 } }$
  • B. B. $u ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 1 - x , x \leq 0 \\ x - 1 , x > 0 \end{array} \right.$
  • C. C. $v ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x } { x }$
  • D. D. $g ( t ) = t - 1 , t \geq 1$

Answer: A

Solution: 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据给定条件,利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数 $f ( x ) = x - 1 \mid$ 定义域为 R ,值域为 $[ 0 , + \infty )$ , 对于 A ,函数 $h ( t ) = \sqrt { ( t - 1 ) ^ { 2 } }$ 的定义域为 R ,且 $\sqrt { ( t - 1 ) ^ { 2 } } \neq t - 1 \mid$ ,与 $f ( x )$ 的对应法则相同, A 是； 对于 B,函数 $u ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 1 - x , x \leq 0 \\ x - 1 , x > 0 \text { 的定义域为 } \mathrm { R } \text { ,值域为 } ( - 1 , + \infty ) \text { ,与 } f ( x ) \text { 的值域不同,B 不 } \end{array} \right.$ 是； 对于 C ,函数 $v ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x } { x }$ 的定义域为 $( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , + \infty )$ ,与 $f ( x )$ 的定义域不同,C 不是； 对于 D ,函数 $g ( t ) = t - 1 , t \geq 1$ 的定义域为 $[ 1 , + \infty )$ ,与 $f ( x )$ 的定义域不同, D 不是.

Question 8: 已知 $f ( 2 x + 1 ) = 4 x + 3$ ,则 $f ( - 1 ) =$（ ）

已知 $f ( 2 x + 1 ) = 4 x + 3$ ,则 $f ( - 1 ) =$（ ）

  • A. A. 0
  • B. B. - 1
  • C. C. - 2
  • D. D. - 3

Answer: B

Solution: 【知识点】求函数值 【分析】令 $2 x + 1 = - 1$ 求出 $x$ 的值,再代入计算可得. 【详解】因为 $f ( 2 x + 1 ) = 4 x + 3$ ,令 $2 x + 1 = - 1$ ,解得 $x = - 1$ , 所以 $f ( - 1 ) = f ( - 1 \times 2 + 1 ) = 4 \times ( - 1 ) + 3 = - 1$ .

Question 9: 函数 $f ( x ) = \frac { \sqrt { x + 1 } } { x - 3 }$ 的定义域为（ ）

函数 $f ( x ) = \frac { \sqrt { x + 1 } } { x - 3 }$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $( - 1,3 )$
  • B. B. $( 3 , + \infty )$
  • C. C. $[ - 1,3 ) \cup ( 3 , + \infty )$
  • D. D. $[ - 1 , + \infty )$

Answer: C

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】直接根据分式与根式的意义计算即可. 【详解】由题意可知 $\left\{ \begin{array} { l } x + 1 \geq 0 \\ x - 3 \neq 0 \text { ,解得 } x \in [ - 1,3 ) \cup ( 3 , + \infty ) \text { .} \end{array} \right.$

Question 10: 函数 $f ( x ) = \frac { \sqrt { x - 1 } } { x - 2 }$ 的定义域为（ ）

函数 $f ( x ) = \frac { \sqrt { x - 1 } } { x - 2 }$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $( 1 , + \infty )$
  • B. B. $[ 1,2 ) \cup ( 2 , + \infty )$
  • C. C. $[ 1,2 )$
  • D. D. $[ 1 , + \infty )$

Answer: B

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组,解得即可. 【详解】由题可得 $\left\{ \begin{array} { l } x - 1 \geq 0 \\ x - 2 \neq 0 , \text { 解得 } x \geq 1 \text { 且 } x \neq 2 \text { ,所以函数 } f ( x ) \text { 的定义域为 } [ 1,2 ) \cup ( 2 , + \infty ) \text { ；} \end{array} \right.$

Question 11: 函数 $y = \sqrt { 3 x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 }$ 的定义域为（ ）

函数 $y = \sqrt { 3 x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 }$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $\left[ \frac { 1 } { 3 } , + \infty \right)$
  • B. B. $( - \infty , 4 ) \cup ( 4 , + \infty )$
  • C. C. $\left[ \frac { 1 } { 3 } , 4 \right) \cup ( 4 , + \infty )$
  • D. D. $( 4 , + \infty )$

Answer: C

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】需要考虑函数有意义的条件,被开方数必须为非负数,分母不为 0 等条件. 【详解】由题意,得 $\left\{ \begin{array} { l } 3 x - 1 \geq 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{array} \right.$ ,解得 $x \geq \frac { 1 } { 3 }$ 且 $x \neq 4$ .

Question 12: 函数 $f ( x ) = \sqrt { x - 2 }$ 的定义域是（ ）

函数 $f ( x ) = \sqrt { x - 2 }$ 的定义域是（ ）

  • A. A. $( 2 , + \infty )$
  • B. B. $( 0 , + \infty )$
  • C. C. $[ 2 , + \infty )$
  • D. D. R

Answer: C

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根式被开方数大于等于 0 ,列式求解. 【详解】要使得 $\sqrt { x - 2 }$ 有意义,则 $x - 2 \geq 0$ ,解得 $x \geq 2$ , 即函数 $f ( x ) = \sqrt { x - 2 }$ 的定义域是 $[ 2 , + \infty )$ .

Question 13: 函数 $y = \sqrt { 4 x ^ { 2 } - 3 x }$ 的定义域是（）

函数 $y = \sqrt { 4 x ^ { 2 } - 3 x }$ 的定义域是（）

  • A. A. $\left[ 0 , \frac { 3 } { 4 } \right]$
  • B. B. $( - \infty , 0 ] \cup \left[ \frac { 3 } { 4 } , + \infty \right)$
  • C. C. $\left( 0 , \frac { 3 } { 4 } \right)$
  • D. D. $( - \infty , 0 ) \cup \left( \frac { 3 } { 4 } , + \infty \right)$

Answer: B

Solution: 【知识点】具体函数的定义域,解不含参数的一元二次不等式 【分析】由二次根式的被开方数非负进行求解即可. 【详解】由题意得 $4 x ^ { 2 } - 3 x \geq 0$ ,解得 $x \leq 0$ 或 $x \geq \frac { 3 } { 4 }$ .

Question 14: 函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x } }$ 的定义域为（ ）

函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x } }$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $\{ x \mid x < 1 \}$
  • B. B. $\{ x \mid x \leq 1 \}$
  • C. C. $\{ x \mid x > 1 \}$
  • D. D. $\{ x \mid x \geq 1 \}$

Answer: A

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由偶次方根为非负数以及分母不为零,计算可得结果. 【详解】根据解析式可得 $1 - x > 0$ ,解得 $x < 1$ ； 所以其定义域为 $\{ x \mid x < 1 \}$ .

Question 15: 函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 x + 4$ 的值域为（ ）

函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 x + 4$ 的值域为（ ）

  • A. A. $( - \infty , 3 )$
  • B. B. $( - \infty , 3 ]$
  • C. C. $( 3 , + \infty )$
  • D. D. $[ 3 , + \infty )$

Answer: D

Solution: 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意,$f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 x + 4 = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 3$ , 根据二次函数的性质可知,当 $x = - 1$ 时,$f ( x )$ 取得最小值 ${ } ^ { 3 }$ , 所以 $f ( x )$ 的值域为 $[ 3 , + \infty )$ .

Question 16: 下列函数中与函数 $y = x$ 相等的函数是

下列函数中与函数 $y = x$ 相等的函数是

  • A. A. $y = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 }$
  • B. B. $y = \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } }$
  • C. C. $y = \sqrt { x ^ { 2 } }$
  • D. D. $y = \frac { x ^ { 2 } } { x }$

Answer: B

Solution: 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】化简各函数的解析式,根据函数的定义域,值域逐项判断可得答案.. 【详解】函数 $y = x$ 的定义域为 $x \in \mathbf { R }$ ,值域为 $y \in \mathbf { R }$ , 对于 A,函数 $y = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } = x$ 的定义域为 $\{ x \mid x \geq 0 \}$ ,故 A 错误； 对于 B,函数 $y = \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } = x$ ,定义域为 $x \in \mathbf { R }$ ,故 B 正确； 对于 C,函数 $y = \sqrt { x ^ { 2 } } = | x |$ 的值域为 $\{ y \mid y \geq 0 \}$ ,故 C 错误； 对于 D,函数 $y = \frac { x ^ { 2 } } { x } = x$ 的定义域为 $\{ x \mid x \neq 0 \}$ ,故 D 错误.

Question 17: 函数 $f ( x ) = \sqrt { x - 1 }$ 的定义域为（ ）

函数 $f ( x ) = \sqrt { x - 1 }$ 的定义域为（ ）

  • A. A. $\{ x \mid x \geq 1 \}$
  • B. B. $\{ x \mid x \geq - 1 \}$
  • C. C. $\{ x \mid x \leq 1 \}$
  • D. D. $\{ x \mid x \leq - 1 \}$

Answer: A

Solution: 【知识点】具体函数的定义域 【分析】求已知函数解析式的函数的定义域,只需让函数解析式有意义即可. 【详解】由题意可得 ：$x - 1 \geq 0 , \therefore x \geq 1$

Question 18: 下列函数与 ${ } ^ { y = x }$ 表示同一函数的是

下列函数与 ${ } ^ { y = x }$ 表示同一函数的是

  • A. A. $y = \frac { x ^ { 2 } } { x }$
  • B. B. $y = \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } }$
  • C. C. $y = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 }$
  • D. D. $y = \sqrt { x ^ { 2 } }$

Answer: B

Solution: 【知识点】具体函数的定义域,判断两个函数是否相等 【分析】利用函数三要素对选项逐一进行判断即可得出结论. 【详解】易知函数 $y = x$ 的定义域为 R ,值域为 R , 对于 A ,函数 $y = \frac { x ^ { 2 } } { x }$ 的定义域为 $\{ x \mid x \neq 0 \}$ ,不合题意； 对于 B ,函数 $y = \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } = x$ 的定义域为 R ,值域为 R ,符合题意, 对于 C ,函数 $y = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 }$ 的定义域为 $[ 0 , + \infty )$ ,不合题意； 对于 D,函数 $y = \sqrt { x ^ { 2 } } = | x |$ ,对应法则不同,不合题意.

Question 19: 下列函数中,在其定义域上是奇函数又是减函数的是 .

下列函数中,在其定义域上是奇函数又是减函数的是 .

  • A. A. $f ( x ) = x ^ { 3 }$
  • B. B. $f ( x ) = - x ^ { 2 }$
  • C. C. $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$
  • D. D. $f ( x ) = - 2 x$

Answer: D

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断,根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于 A ,函数 $f ( x ) = x ^ { 3 }$ 在 R 上单调递增,故 A 错误； 对于 B,函数 $f ( x ) = - x ^ { 2 }$ 是偶函数,故 B 错误； 对于 C ,函数 $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ 的定义域是 $\{ x \mid x \neq 0 \}$ ,不是其定义域上的减函数,故 C 错误； 对于 D,函数 $f ( x ) = - 2 x$ 定义域为 R ,是奇函数且在 R 上单调递减,故 D 正确.

Question 20: 若奇函数 $f ( x )$ 满足当 $x > 1$ 时,$f ( x ) = x ^ { 2 } - 3$ ,则 $f ( - 5 ) =$

若奇函数 $f ( x )$ 满足当 $x > 1$ 时,$f ( x ) = x ^ { 2 } - 3$ ,则 $f ( - 5 ) =$

  • A. A. - 8
  • B. B. － 22
  • C. C. 8
  • D. D. 22

Answer: B

Solution: 【知识点】求函数值,函数奇偶性的应用 【分析】由奇函数性质以及函数解析式代入即可求值. 【详解】依题意可得 $f ( - 5 ) = - f ( 5 ) = - \left( 5 ^ { 2 } - 3 \right) = - 22$ .

Question 21: 函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 1$ 的奇偶性为

函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 1$ 的奇偶性为

  • A. A. 奇函数
  • B. B. 偶函数
  • C. C. 既是奇函数又是偶函数
  • D. D. 非奇非偶函数

Answer: B

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶性的定义分析判定即可 【详解】函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } + 1$ 的定义域为 $( - \infty , + \infty )$ ,关于原点对称, 又 $f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 1 = f ( x ) , f ( 0 ) = 1 \neq 0$ 所以 $f ^ { ( x ) }$ 是偶函数,不是奇函数.

Question 22: 已知函数 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } + k x$ 是偶函数,则 $k =$

已知函数 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } + k x$ 是偶函数,则 $k =$

  • A. A. 5
  • B. B. 4
  • C. C. 3
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用二次函数是偶函数,则对称轴为 $y$ 轴,即可求解. 【详解】由 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } + k x$ 是偶函数,则 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } + k x = x ^ { 2 } + ( k - 4 ) _ { x + 4 }$ , 满足二次函数的对称轴 $x = - \frac { k - 4 } { 2 } = 0 \Rightarrow k = 4$ ,

Question 23: 若函数 $f ( x ) = 7 + 2 a x - x ^ { 2 }$ 在区间 $[ - 1,1 ]$ 上单调递减,则 ${ } ^ { a }$ 的取值范围为（）

若函数 $f ( x ) = 7 + 2 a x - x ^ { 2 }$ 在区间 $[ - 1,1 ]$ 上单调递减,则 ${ } ^ { a }$ 的取值范围为（）

  • A. A. $a \leq - 1$
  • B. B. $a < - 1$
  • C. C. $- 3 \leq a \leq - 1$
  • D. D. $- 3 < a < - 1$ .

Answer: A

Solution: 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数图象的单调性结合题设条件易得. 【详解】因 $f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 a x + 7 = - ( x - a ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 7$ 的图象的对称轴为直线 $x = a$ ,且开口向下； 依题意 $f ( x ) = 7 + 2 a x - x ^ { 2 }$ 在区间 ${ } ^ { [ - 1,1 ] }$ 上单调递减, 则 $a \leq - 1$ .

Question 24: 下列函数为奇函数且在 R 上单调递减的为（ ）

下列函数为奇函数且在 R 上单调递减的为（ ）

  • A. A. $y = - x ^ { 2 }$
  • B. B. $y = 2 | x |$
  • C. C. $y = \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 }$
  • D. D. $y = - x$

Answer: D

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断,根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用熟悉函数的奇偶性和单调性来作出判断,对于 C 则举反例分析. 【详解】由奇函数,结合绝对值的意义,可排除 B, 由在 R 上单调递减,结合二次函数性质可排除 A ,结合一次函数的性质可确定 D , 对于 C ,当 ${ } _ { x = \frac { 1 } { 3 } }$ 时,$y = \frac { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 9 } + 1 } = \frac { 3 } { 10 }$ ,当 ${ } _ { x = \frac { 1 } { 2 } }$ 时,$y = \frac { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { 4 } + 1 } = \frac { 2 } { 5 }$ , 由于 $\frac { 2 } { 5 } > \frac { 3 } { 10 }$ ,所以 $y = \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 }$ 不在 ${ } _ { \mathrm { R } }$ 上单调递减,故 C 错误；

Question 25: 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

  • A. A. $y = | x | ( x \in \mathrm { R } )$
  • B. B. $y = \frac { 1 } { x } ( x \neq 0 )$
  • C. C. $y = - x ^ { 2 } ( x \in \mathrm { R } )$
  • D. D. $y = - x ( x \in \mathrm { R } )$

Answer: D

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断,根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】结合函数图象,利用奇偶性的定义和单调性的定义可判断. 【详解】$y = | x | ( x \in \mathrm { R } )$ 是偶函数,在 $( 0 , + \infty )$ 内为增函数,不合题意； $y = \frac { 1 } { x } ( x \neq 0 )$ 是奇函数,但在定义域内不是减函数,不合题意； $y = - x ^ { 2 } ( x \in \mathrm { R } )$ 是偶函数,在 $( - \infty , 0 )$ 为增函数,不合题意； 作函数 $y = - x$ 的图象,观察图象可得 $y = - x ( x \in \mathrm { R } )$ 是奇函数,且在定义域内为减函数,符 合题意. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/c3026ed5-6bcd-4e8d-89e7-09b5704271c4-13.jpg?height=337&width=337&top_left_y=1320&top_left_x=301)

Question 26: 下列函数中,既是偶函数又在区间 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递增的是（）

下列函数中,既是偶函数又在区间 ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ 上单调递增的是（）

  • A. A. $y = x ^ { \frac { 1 } { 2 } }$
  • B. B. $y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
  • C. C. $y = | x |$
  • D. D. $y = \frac { 3 ^ { x } - 3 ^ { - x } } { 2 }$

Answer: C

Solution: 【知识点】函数奇偶性的定义与判断,根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数性质及奇偶性定义,逐一分析各个选项,即可得答案. 【详解】选项 A：$y = x ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt { x }$ ,定义域为 $[ 0 , + \infty )$ ,所以为非奇非偶函数,故 A 错误； 选项 B：因为 $y = x ^ { 2 }$ 在 $( 0 , + \infty )$ 单调递增,所以 $y = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ 在 $( 0 , + \infty )$ 单调递减,故 B 错误； 选项 C：由 $f ( x ) = | x |$ ,定义域为 $\mathbf { R }$ ,可得 $f ( - x ) = | - x | = | x | = f ( x )$ ,为偶函数, 又当 $x \in ( 0 , + \infty )$ 时,$f ( x ) = x$ ,单调递增,符合题意,故 C 正确； 选项 D：由 $f ( x ) = \frac { 3 ^ { x } - 3 ^ { - x } } { 2 }$ ,定义域为 $\mathbf { R }$ , 可得 $f ( - x ) = \frac { 3 ^ { - x } - 3 ^ { x } } { 2 } = - \frac { 3 ^ { x } - 3 ^ { - x } } { 2 } = - f ( x )$ ,所以为奇函数,故 D 错误.

Question 27: 函数 $y = 2 ^ { x - 1 }$ 的反函数是（ ）

函数 $y = 2 ^ { x - 1 }$ 的反函数是（ ）

  • A. A. $y = \log _ { 2 } ( x - 1 ) ( x > 1 )$
  • B. B. $y = \frac { 1 } { 2 ^ { x } } + 1 ( x \in \mathbf { R } )$
  • C. C. $y = 1 + \log _ { 2 } x ( x > 0 )$
  • D. D. $y = 2 ^ { \frac { 1 } { x - 1 } } ( x \neq 1 )$

Answer: C

Solution: 【知识点】求反函数 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令 $x = 2 ^ { y - 1 } > 0$ ,解得 $y = 1 + \log _ { 2 } x , ( x > 0 )$ .

Question 28: $f ( x ) = \log _ { 2 } x$ 的反函数是（ ）

$f ( x ) = \log _ { 2 } x$ 的反函数是（ ）

  • A. A. $y = a ^ { x }$
  • B. B. $y = 2 ^ { x }$
  • C. C. $y = \log _ { x } 2$
  • D. D. $y = 4 ^ { x }$

Answer: B

Solution: 【知识点】求反函数 【分析】根据指数函数与对数函数的关系,准确改写,即可求解. 【详解】根据指数函数与对数函数的关系,可得函数 $f ( x ) = \log _ { 2 } x$ 的反函数为 $y = 2 ^ { x }$ .

Question 29: 函数 $f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 1 }$ 的反函数 $f ^ { - 1 } ( x )$ 等于（ ）

函数 $f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 1 }$ 的反函数 $f ^ { - 1 } ( x )$ 等于（ ）

  • A. A. $x ^ { 3 } + 1$
  • B. B. $- x ^ { 3 } + 1$
  • C. C. $x ^ { - 3 } + 1$
  • D. D. $x ^ { 3 } - 1$

Answer: A

Solution: 【知识点】求反函数 【分析】利用反函数定义即可求解. 【详解】由题知,$y = \sqrt [ 3 ] { x - 1 }$ , 两边同时立方得：$y ^ { 3 } = x - 1$ 整理得：$x = y ^ { 3 } + 1$ 由反函数定义得：$y = x ^ { 3 } + 1$ .
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Functions

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