二次方程èrcì fāngchéng

핵심 개념

이차방정식은 변수의 최고차항이 2인 다항식 방정식입니다. 대수학에서 가장 기본적인 방정식 유형 중 하나입니다.

표준형

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ 여기서: -$a$ 는 의$x^2$ 계수(0일 수 없음) -$b$ 는 의 계수$x$

-$c$ 는 상수항 -$x$ 는 변수

해법

방법 1: 인수분해

방정식을 인수분해할 수 있을 때 가장 직접적인 접근법입니다.

예시:$x^2 - 5x + 6 = 0$ 1단계: $(x - 2)(x - 3) = 0$ 인수분해2단계: 각 인수를 0으로 설정 $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$

답안:$x = 2$ 또는 $x = 3$

방법 2: 제곱완성

방정식을 완전제곱식으로 변환합니다.

예시:$x^2 + 6x + 5 = 0$ 1단계: $x^2 + 6x = -5$ 재배열2단계: $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ 제곱완성3단계: 제곱근 구하기 $x + 3 = \pm 2$

답안:$x = -1$ 또는$x = -5$

방법 3: 이차방정식의 근사식

모든 이차방정식에 적용 가능한 보편적 방법:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 여기서$\Delta = b^2 - 4ac$ 는 판별식이라 부릅니다.

판별식 분석

-$\Delta > 0$ : 서로 다른 두 개의 실수 근 -$\Delta = 0$ : 동일한 두 개의 실수 근 (중복 근) -$\Delta < 0$ : 실수 근 없음 (복소 공액 근 두 개)

비에타의 공식

와x_2$$x_1 가$ax^2 + bx + c = 0$ 의 근이라면:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (근의 합)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (근의 곱)

실제 적용 사례

적용 1: 면적 문제

문제: 직사각형 부지의 길이가 너비보다 4m 더 길다. 면적은 60m²이다. 크기를 구하라.

해법: 너비 = 라고$x$ 하면, 길이 = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

답: 너비 = 6m, 길이 = 10m (음수 값은 무시)

응용 2: 투사체 운동

문제: 높이$h = 20t - 5t^2$ (미터)로 위쪽으로 던져진 물체가 언제 지면에 닿는가?

해법: 로 설정$h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

답안:$t = 4$ 초 ($t = 0$ 는 발사 시간)

응용 3: 이익 극대화

문제: 에 판매되는$x$ 제품이 매일 개$(100-x)$ 판매된다. 단가는 $40/개이다. 최적 가격을 구하라.

이익 함수: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ 최대값: 정점 에서 $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

답안: $70 가격에서 이익이 최대화됨

CSCA 연습 문제

> 💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 시라버스와 중국 표준 시험 형식을 기반으로 설계되어 학생들이 문제 유형과 해결 접근법에 익숙해지도록 돕습니다.

예제 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

인수분해하여 풀이: $x^2 - 7x + 12 = 0$

선택지:

• A.$x = 2$ 또는 $x = 5$
• B.$x = 3$ 또는 $x = 4$
• C.$x = 1$ 또는 $x = 12$
• D.$x = -3$ 또는$x = -4$ 해법:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ 정답: B

---

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

가 두 개의 같은 실수 근을 가질 때$x^2 - 6x + k = 0$ , 를 구하시오$k$ .

해설:

같은 근이란 를 의미하므로$\Delta = 0$ :

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ 정답:

---$k = 9$

예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

와x_2$$x_1 가 의 근일$x^2 - 3x - 1 = 0$ 때, 를$x_1^2 + x_2^2$ 풀지 않고 구하시오.

해법:

비에타의 공식에 의해: 다음과 같은$x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ 등식을 이용:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ 답: $11$

흔한 실수

❌ 실수 1: 잊기

$a \neq 0$ 잘못됨:$0x^2 + 3x + 2 = 0$ 는 이차방정식이다 ✗

정답: 일 때$a = 0$ , 이는 일차방정식이 된다 ✓

❌ 실수 2: 이차 방정식 공식의 부호 오류

잘못됨: ✗$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

정답: ✓$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ 실수 3: 비에타 공식의 부호 오류

잘못됨:$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

정확: ✓$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ 실수 4: 불필요한 해 확인 누락

수정: 실제 문제에서는 해가 물리적으로 타당한지 확인하라 (예: 길이는 음수가 될 수 없음).

학습 팁

1. ✅ 세 가지 방법 모두 숙달: 인수분해가 가장 빠르고, 제곱완성법은 개념 이해에, 공식은 보편적
2. ✅ 판별식이 핵심: 항상 $\Delta$ 계산하여 근의 종류 판단
3. ✅ 비에타 공식은 출제: 풀지 않고 식 찾는 연습
4. ✅ 실생활 답안 확인: 비합리적인 해는 배제하세요

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💡 시험 팁: 이차방정식은 CSCA 대수학 핵심 내용으로, 방정식 문제의 약 60%를 차지합니다. 공식과 비에타의 공식을 반드시 암기하세요!