复数fùshù

핵심 개념

복소수는 실수의 확장으로, 의$z = a + bi$

형태를 가지며 여기서$a, b$

는 실수이고$i$

는 허수 단위입니다.

허수 단위

허수 단위 는$i$

를 만족합니다$i^2 = -1$

.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

의 거듭제곱$i$

:

• $i^1 = i$

• $i^2 = -1$

• $i^3 = -i$

• $i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

복소수의 형태

$z = a + bi$

여기서: -$a$

는 실수부로,$\text{Re}(z)$

-$b$

는 허수부로,$\text{Im}(z)$

• 일$b = 0$

때,$z$

는 실수

• 일 때$a = 0, b \neq 0$

,$z$

는 순수 허수

• 일 때$b \neq 0$

,$z$

는 허수

복소수 등식

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

복소평면

기하학적 표현

복소수$z = a + bi$

는 복소평면 상의$(a, b)$

점 으로 표현될 수 있다:

• 수평축(실수축): 실부를 나타냄
• 수직축(허수축): 허부를 나타냄

벡터 표현

복소수$z = a + bi$

는 또한 원점 에서$O$

점 $\overrightarrow{OZ}$

까지의 벡터 $(a, b)$

로 볼 수 있다.

복소수의 모듈러스

정의

복소수 의$z = a + bi$

모듈러스는 로 표기되며$|z|$

:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

기하학적 의미는 복소평면에서 점 에서

|z|$$z

원점까지의 거리를 나타냅니다.

성질

1.$|z| \geq 0$

, 일 때만 등호 성립$z = 0$

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(삼각 부등식)

공액

정의

복소수 의$z = a + bi$

공액은 로 표기한다$\bar{z}$

:

$\bar{z} = a - bi$

기하학적 의미는 실수축을 기준으로

$\bar{z}$

를$z$

대칭 반사한 것이다.

성질

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

연산

덧셈과

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

뺄셈###

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

곱셈### 나눗셈

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

방법: 분자와 분모를 분모의 공액으로 곱한다

CSCA 연습문제

[예제 1] 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

복소수 $z = 3 + 4i$

가 주어졌을 때, 와 $\bar{z}$

를 구하라$|z|$

.

해법:

절대값: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

공액:

$\bar{z} = 3 - 4i$

답안:$|z| = 5$

,

$\bar{z} = 3 - 4i$

---

[예제 2] 중급 (난이도 ★★★☆☆)

를 계산하라$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

해법:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

답안: $8 - i$

흔한 오해

❌ 오해 1: 를$i$

변수로 취급하기

잘못됨: 를 대수학적 변수처럼 더$i$

단순화할 수 있다고 생각하는 것

잘못됨:$i$

는 변수가 아닌, 를$i^2 = -1$

가진 허수 단위입니다

❌ 오해 2: 잘못된 모듈러스 계산

잘못됨: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

정확함: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ 오해 3: 잘못된 공액 부호

잘못됨:$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

정확:$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(허수 부분만 부호가 바뀜)

학습 팁

1. ✅ 허수 단위 이해:$i^2 = -1$

는 기본 개념 2. ✅ 연산 숙달: 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 3. ✅ 절대값과 복소수 공액 기억: 기하학적 의미와 성질 4. ✅ 나눗셈 연습: 분모 유리수화가 핵심 5. ✅ 기하학 이해: 복소평면의 점과 벡터

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💡 시험 팁: 복소수는 고등학교 수학에서 중요합니다. CSCA 시험에서는 비교적 직관적이지만, 기본 연산과 개념은 반드시 숙지해야 합니다! 대수 문제의 약 10-15%를 차지합니다.