值域zhíyù

핵심 개념

함수 $f$의 치역은 함수가 생성할 수 있는 모든 가능한 출력값(y값)의 집합이다.

수학적 정의

$\text{치역}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{인 어떤 } x \in \text{정의역}(f)\}$

치역은 함수의 상(像) 이라고도 한다.

정의역 vs. 치역

개념	기호	설명
정의역	$D_f$	모든 유효한 입력값(x)의 집합
치역	$R_f$	모든 출력값(y)의 집합

핵심 관계: 치역은 함수의 대응 법칙과 정의역 모두에 의존한다.

치역을 구하는 방법

방법 1: 직접 분석 (观察法)

간단한 함수의 경우, 행동을 직접 분석한다.

예제: $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \geq 0$이고, $x^2$은 임의로 커질 수 있으므로:

치역: $[0, +\infty)$

방법 2: 역함수 방법 (反函数法)

1. $y = f(x)$로 놓는다
2. $y$에 대해 $x$를 풀어낸다
3. $x$가 정의되는 $y$의 값을 구한다

예제: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

$y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$로 놓자

$x$에 대해 풀면: $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

$x$가 존재하려면, $y \neq 2$이어야 한다.

치역: $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

방법 3: 단조성 방법 (单调性法)

함수의 단조성을 이용하여 정의역에서 치역을 구한다.

예제: $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

$f(x) = 2^x$는 순증가이므로:

• 최솟값: $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• 최댓값: $f(2) = 2^2 = 4$

치역: $[\dfrac{1}{2}, 4]$

방법 4: 완전제곱식 (配方法)

이차함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$에 적용.

예제: $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

완전제곱식으로 변환: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

$(x - 2)^2 \geq 0$이므로, 최솟값은 $x = 2$에서 1이다.

치역: $[1, +\infty)$

방법 5: 치환법 (换元法)

예제: $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

$t = \sqrt{x - 1}$로 놓자, 여기서 $t \geq 0$

그러면 $x = t^2 + 1$이므로: $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

$t \geq 0$이므로, 최솟값은 $t = 0$에서 발생: $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

치역: $[1, +\infty)$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 교과 과정을 기반으로 설계되었습니다.

예시 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$의 치역을 구하시오.

해설: 일차함수는 순증가이다.

• $x = 0$일 때: $f(0) = -2$
• $x = 4$일 때: $f(4) = 10$

정답: $[-2, 10]$

---

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$의 치역을 구하시오.

해설:

완전제곱식: $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

꼭짓점이 $x = 1$ (정의역 내에 있음), 최솟값 = 2

끝점 확인:

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

정답: $[2, 6]$

---

예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$의 치역을 구하시오.

해설:

$y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$로 놓자

교차 곱하기: $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

$x$가 실수이려면 $x^2 \geq 0$이어야 한다: $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

$(1 - 2y)$와 $(y - 1)$이 같은 부호여야 한다.

• 경우 1: 둘 다 양수: $y < \dfrac{1}{2}$이고 $y > 1$ → 불가능
• 경우 2: 둘 다 음수: $y > \dfrac{1}{2}$이고 $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

또한, $x^2 \to +\infty$일 때, $y \to 1$ (1에는 도달하지 않음). $x = 0$일 때: $y = \dfrac{1}{2}$ (도달 가능).

정답: $[\dfrac{1}{2}, 1)$

흔한 실수

❌ 실수 1: 정의역 제한 무시

오답: $f(x) = \sqrt{x}$의 치역은 $\mathbb{R}$ ✗

정답: $f(x) = \sqrt{x}$의 치역은 $[0, +\infty)$ ✓

❌ 실수 2: 유계 정의역에서 잘못된 방법 사용

오답: $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$일 때, 치역은 $[0, 9]$ ✗

정답: 치역은 $[1, 9]$ (최솟값은 $x = 1$에서, $x = 0$이 아님) ✓

❌ 실수 3: 끝점 확인 누락

항상 정의역 경계에서의 함수값을 확인하라.

학습 팁

1. ✅ 먼저 함수 유형을 파악하라: 일차, 이차, 유리함수 등
2. ✅ 정의역이 유계인지 확인하라: 유계이면 단조성 활용
3. ✅ 이차함수의 꼭짓점을 찾아라: 정의역 내에 있는가?
4. ✅ 분수함수는 역함수 방법을 사용하라: $x$를 $y$로 표현하여 풀기

---

💡 시험 팁: 유계 정의역에서는 반드시 꼭짓점(이차함수의 경우)과 끝점 모두를 확인하라!