단조성 | CSCA Math Glossary

핵심 개념

단조성은 함수가 어떤 구간에서 항상 증가하는지 또는 항상 감소하는지를 나타낸다. 어떤 구간에서 함수가 전체적으로 증가만 하거나 감소만 하면, 그 함수는 해당 구간에서 단조적이라고 한다.

정의

증가함수 (递增函数)

함수 $f$ 가 구간 $I$ 에서 단조증가한다는 것은: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

동치 표현: 더 큰 입력 → 더 큰 출력.

감소함수 (递减函数)

함수 $f$ 가 구간 $I$ 에서 단조감소한다는 것은: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

동치 표현: 더 큰 입력 → 더 작은 출력.

비엄밀 단조성

단조비감소: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
단조비증가: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

단조성 판별법

방법 1: 정의법 (定义法)

구간 내에서 임의의 $x_1, x_2$ 를 $x_1 < x_2$ 로 설정
$f(x_1) - f(x_2)$ 를 계산
차의 부호를 판별:
- 항상 음수 → 단조증가
- 항상 양수 → 단조감소

예제: $f(x) = x^2$ 가 $(0, +\infty)$ 에서 단조증가함을 증명하라.

$0 < x_1 < x_2$ 일 때: $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

$x_1 < x_2$ 이므로: $(x_1 - x_2) < 0$ $x_1, x_2 > 0$ 이므로: $(x_1 + x_2) > 0$

따라서: $f(x_1) - f(x_2) < 0$ , 즉 $f(x_1) < f(x_2)$ .

결론: $f(x) = x^2$ 는 $(0, +\infty)$ 에서 단조증가한다.

방법 2: 도함수법 (导数法)

미분 가능한 함수에 대해:

구간 $I$ 에서 $f'(x) > 0$ → $f$ 는 $I$ 에서 단조증가
구간 $I$ 에서 $f'(x) < 0$ → $f$ 는 $I$ 에서 단조감소

예제: $f(x) = x^3 - 3x$ 의 단조구간을 구하라.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

$f'(x) > 0$ : $x < -1$ 또는 $x > 1$ 일 때
$f'(x) < 0$ : $-1 < x < 1$ 일 때

단조구간:

증가: $(-\infty, -1)$ 및 $(1, +\infty)$
감소: $(-1, 1)$

주요 함수의 단조성

함수	증가 구간	감소 구간
$y = kx + b$ ( $k > 0$ )	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ( $k < 0$ )	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$ , $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ( $a > 1$ )	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ( $0 < a < 1$ )	—	$(-\infty, +\infty)$

CSCA 연습 문제

💡 참고: 다음 연습 문제는 CSCA 시험 시라버스를 바탕으로 설계되었습니다.

예시 1: 기초 (난이도 ★★☆☆☆)

$f(x) = -x^2 + 4x$ 의 단조구간을 구하시오.

해설:

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

이것은 꼭짓점이 $x = 2$ 인 아래로 볼록한 포물선이다.

증가: $(-\infty, 2]$
감소: $[2, +\infty)$

정답: $(-\infty, 2]$ 에서 증가, $[2, +\infty)$ 에서 감소

예제 2: 중급 (난이도 ★★★☆☆)

$f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ 이 $(-1, +\infty)$ 에서 단조증가함을 증명하시오.

해설:

$-1 < x_1 < x_2$ 로 놓자.

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$x_1 < x_2$ 이므로: 분자 $< 0$ $x_1, x_2 > -1$ 이므로: $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

따라서: $f(x_1) - f(x_2) < 0$ , 즉 $f(x_1) < f(x_2)$ .

결론: $f(x)$ 는 $(-1, +\infty)$ 에서 단조증가한다.

예제 3: 고급 (난이도 ★★★★☆)

$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ 이 $[1, +\infty)$ 에서 단조증가일 때, $a$ 의 범위를 구하시오.

해설:

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

꼭짓점은 $x = a$ 에 있다.

$f(x)$ 가 $[1, +\infty)$ 에서 단조증가하려면 꼭짓점이 $x = 1$ 이하에 위치해야 한다.

따라서: $a \leq 1$

정답: $a \leq 1$ , 즉 $(-\infty, 1]$

단조함수의 성질

1. 합성 법칙

$f$	$g$	$f \circ g$
증가	증가	증가
증가	감소	감소
감소	증가	감소
감소	감소	증가

암기 요령: "같으면 증가, 다르면 감소" (同增异减)

2. 역함수

$f$ 가 순단조이면, $f^{-1}$ 이 존재하며 $f$ 와 같은 단조성을 가진다.

흔한 실수

❌ 실수 1: 단조구간과 정의역 혼동

틀림: $y = \dfrac{1}{x}$ 는 $(-\infty, +\infty)$ 에서 단조감소 ✗

맞음: $y = \dfrac{1}{x}$ 는 $(-\infty, 0)$ 과 $(0, +\infty)$ 에서 각각 단조감소 ✓

❌ 실수 2: 분리된 구간 합치기

틀림: $y = \dfrac{1}{x}$ 는 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ 에서 단조감소 ✗

맞음: 구간을 분리하여 표기: $(-\infty, 0)$ 에서 감소, $(0, +\infty)$ 에서 감소 ✓

❌ 실수 3: 증명 시 경계 조건 무시

단조성을 증명할 때, $x_1 < x_2$ 가 모두 지정된 구간 내에 있는지 확인해야 한다.

학습 팁

✅ 정의 숙달: $x_1 < x_2$ 이면 $f(x_1)$ 과 $f(x_2)$ 의 관계는?
✅ 기본 함수 암기: 표준 함수들의 단조성을 외우기
✅ 도함수 활용: 복잡한 함수는 도함수법이 더 빠름
✅ 분리된 구간은 합치지 말 것: 각 구간을 따로 표기

💡 시험 팁: 이차함수는 항상 꼭짓점을 먼저 구하세요. 단조성은 꼭짓점에서 바뀝니다!

单调性dāndiàoxìng