指数函数zhǐshù hánshù

Konsep Inti

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk:

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

Dimana:

• $a$ adalah basis (harus positif dan tidak sama dengan 1)
• $x$ adalah eksponen (variabel)

Perbedaan penting dengan fungsi pangkat: Pada fungsi eksponensial, variabel berada di eksponen; pada fungsi pangkat $x^n$, variabel berada di basis.

Domain dan Range

• Domain: $\mathbb{R}$ (semua bilangan real)
• Range: $(0, +\infty)$ (semua bilangan real positif)

Catatan: $a^x > 0$ untuk semua bilangan real $x$ ketika $a > 0$.

Sifat-sifat Dasar

1. Melalui Titik (0, 1)

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{untuk semua } a > 0$

Setiap fungsi eksponensial melalui titik $(0, 1)$.

2. Selalu Positif

$a^x > 0 \quad \text{untuk semua } x \in \mathbb{R}$

3. Monotonitas

• Jika $a > 1$: $f(x) = a^x$ monoton naik
• Jika $0 < a < 1$: $f(x) = a^x$ monoton turun

4. Hukum Eksponen

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

Karakteristik Grafik

Ketika $a > 1$ (contoh: $y = 2^x$)

• Naik dari kiri ke kanan
• Mendekati 0 saat $x \to -\infty$
• Tumbuh tanpa batas saat $x \to +\infty$
• Asimtot horizontal: $y = 0$

Ketika $0 < a < 1$ (contoh: $y = (1/2)^x$)

• Turun dari kiri ke kanan
• Tumbuh tanpa batas saat $x \to -\infty$
• Mendekati 0 saat $x \to +\infty$
• Asimtot horizontal: $y = 0$

Perbandingan Nilai

Untuk $a > 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

Untuk $0 < a < 1$:

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

Alat bantu ingatan: "Basis > 1: eksponen lebih besar, nilai lebih besar; Basis < 1: eksponen lebih besar, nilai lebih kecil"

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Bandingkan nilai-nilai: $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$.

Solusi: Karena basis $2 > 1$, $y = 2^x$ adalah fungsi naik.

Karena $0.5 > 0.3 > -0.1$: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

Jawaban: $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

---

Contoh 2: Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Bandingkan: $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$.

Solusi:

Untuk $0.5^{-0.1}$ dan $0.5^{0.1}$: Karena $0 < 0.5 < 1$, $y = 0.5^x$ adalah fungsi turun. Jadi $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$.

Untuk $0.5^{0.1}$: $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$.

Untuk $1.5^{0.1}$: Karena $1.5 > 1$ dan $0.1 > 0$, maka $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$.

Untuk $0.5^{-0.1}$: Ini sama dengan $2^{0.1} > 1$.

Membandingkan $2^{0.1}$ dan $1.5^{0.1}$: Karena $2 > 1.5$ dan eksponennya positif: $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

Jawaban: $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

---

Contoh 3: Lanjutan (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Tentukan range dari $f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$.

Solusi:

Misalkan $t = 2^x$. Karena $x \in [-1, 2]$: $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

Maka $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ dan $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$.

Jadi: $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

Untuk $t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$:

• Minimum di $t = 1$: $f = 0 + 1 = 1$
• Periksa titik ujung:
  • Di $t = \dfrac{1}{2}$: $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • Di $t = 4$: $f = 16 - 8 + 2 = 10$

Range: $[1, 10]$

Fungsi Eksponensial Khusus

Fungsi Eksponensial Natural

$f(x) = e^x \quad \text{dimana } e \approx 2.71828$

Ini adalah fungsi eksponensial yang paling penting dalam kalkulus karena $(e^x)' = e^x$.

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Bingung dengan fungsi pangkat

Salah: $x^2$ adalah fungsi eksponensial ✗

Benar: $2^x$ adalah eksponensial (variabel di eksponen), $x^2$ adalah fungsi pangkat ✓

❌ Kesalahan 2: Arah pertidaksamaan salah

Salah: Karena $0.5 < 1$, maka $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

Benar: Untuk $0 < a < 1$, eksponen lebih besar menghasilkan nilai lebih kecil: $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ Kesalahan 3: Lupa bahwa $a^x > 0$

Salah: Persamaan $2^x = -1$ memiliki solusi ✗

Benar: Untuk semua $x$, $2^x > 0$, jadi persamaan tidak memiliki solusi. ✓

Tips Belajar

1. ✅ Kuasai dua kasus: $a > 1$ (naik) vs $0 < a < 1$ (turun)
2. ✅ Gunakan substitusi: Misalkan $t = a^x$ untuk mengubah ke persamaan aljabar
3. ✅ Ingat asimtot: $y = 0$ selalu menjadi asimtot horizontal
4. ✅ Periksa posisi variabel: Variabel di eksponen = fungsi eksponensial

---

💡 Tips Ujian: Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, gunakan substitusi $t = a^x$ untuk mengubah ke persamaan aljabar. Ingat $t > 0$!