对数函数duìshù hánshù

Konsep Inti

Fungsi Logaritma** adalah kebalikan dari fungsi eksponensial, dengan bentuk $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$).

Definisi

Jika $a^y = x$ ($a > 0, a \neq 1$), maka $y$ disebut sebagai logaritma dari $x$ ke basis $a$: $y = \log_a x$

Dimana:

• $a$ adalah basis
• $x$ adalah argumen
• $y$ adalah logaritma

Properti

1. Domain dan Rentang

• Domain: $(0, +\infty)$
• Range: $\mathbb{R}$

2. Titik Tetap

Semua fungsi logaritma melewati $(1, 0)$: $\log_a 1 = 0$

3. Monotonitas

• Ketika $a > 1$: $y = \log_a x$ adalah meningkat pada $(0, +\infty)$
• Ketika $0 < a < 1$: $y = \log_a x$ adalah menurun pada $(0, +\infty)$

Hukum Logaritma

Untuk $a > 0, a \neq 1$; $M > 0, N > 0$:

1. Aturan Produk

$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$

2. Aturan Hasil Bagi

$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

3. Aturan Pangkat

$\log_a M^n = n\log_a M$

4. Perubahan Rumus Dasar

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

5. Hubungan Timbal Balik

$\log_a b \cdot \log_b a = 1$

6. Aturan Rantai

$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

Logaritma Khusus

Logaritma Umum

Basis 10, dilambangkan $\lg x$: $\lg x = \log_{10} x$

Logaritma Alami

Basis $e$ ($e \approx 2.71828$), dilambangkan $\ln x$: $\ln x = \log_e x$

Soal-soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Hitung: $\log_2 8 + \log_3 27$

Solusi: $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$ $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$ $\text{Answer: } 6$

Kesalahpahaman Umum

❌ Miskonsepsi 1: Hukum logaritma yang salah

Salah: $\log_a (M + N) = \log_a M + \log_a N$

Benar: RUMUS MATEMATIKA_40 (aturan produk)

❌ Kesalahpahaman 2: Argumen yang dilupakan haruslah positif

Salah: $\log_2 (-4)$ sudah didefinisikan

Benar: Argumennya haruslah $> 0$, jadi $\log_2 (-4)$ tidak terdefinisi

Tips Belajar

1. pahami definisi**: Logaritma adalah kebalikan dari eksponensial
2. ✅ Menghafal hukum: Hasil kali, hasil bagi, pangkat, perubahan basis
3. ✅ Periksa domain: Argumen $> 0$, basis $> 0$ dan $\neq 1$
4. ✅ Praktik: Menguasai teknik perhitungan

---

💡 Tip Ujian: Fungsi logaritma adalah wajib di CSCA! Harus menguasai hukum logaritma. Menyumbang sekitar 20% dari masalah fungsi.