一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

Concept fondamental

Une inégalité linéaire à une variable est une inégalité qui peut s'écrire sous la forme :

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{or} \quad ax + b \leq 0$

où $a \neq 0$, $a$ et $b$ sont des constantes.

Formulaires types

• $ax + b > 0$ (strictement supérieur à)
• $ax + b < 0$ (strictement inférieur à)
• $ax + b \geq 0$ (supérieur ou égal à)
• $ax + b \leq 0$ (inférieur ou égal à)

Propriétés des inégalités

1. Propriété de l'addition et de la soustraction

Si $a > b$, alors $a + c > b + c$ pour tout nombre réel $c$.

Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés permet de conserver le sens de l'inégalité.

2. Propriété de la multiplication et de la division

Multiplicateur positif : Si $a > b$ et $c > 0$, alors $ac > bc$.

Multiplicateur négatif : Si $a > b$ et $c < 0$, alors $ac < bc$.

Règle essentielle : lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l'inégalité.

3. Transitivité

Si $a > b$ et $b > c$, alors $a > c$.

Méthode de résolution

Procédure étape par étape

1. Simplifiez les deux côtés (distribuez, regroupez les termes similaires)
2. Déplacer les termes variables d'un côté
3. Déplacer les termes constants de l'autre côté
4. Diviser par le coefficient de $x$
5. Si l'on divise par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l'inégalité
6. Exprimer la solution sous forme d'intervalle

Exemple détaillé

Résolution : $3x - 7 \leq 2x + 5$

Étape 1 : Soustraire $2x$ des deux côtés $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

Étape 2 : Ajouter 7 aux deux côtés $x \leq 12$

Solution : $(-\infty, 12]$

Exemples avec inversion de signe

Exemple : coefficient négatif

Résoudre : $-2x + 6 > 10$

Étape 1 : Soustrais 6 $-2x > 4$

Étape 2 : Divisez par -2 (changez le signe !) $x < -2$

Solution : $(-\infty, -2)$

Exercices pratiques du CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants ont été conçus en fonction du programme de l'examen du CSCA.

Exemple 1 : Niveau débutant (Difficulté ★☆☆☆☆)

Résolvez l'équation $2x - 5 > 7$.

Options :

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

Solution : $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

Réponse : A

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Exemple 2 : Niveau intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Résolvez l'équation $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$.

Solution :

Multiplier par le rapport de transmission (LCD) = 6 : $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

Réponse : $[14, +\infty)$

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Exemple 3 : Système d'inégalités (Niveau de difficulté ★★★☆☆)

Déterminez l'ensemble des solutions du système : $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

Solution :

D'après la première inégalité : $2x > 4$, donc $x > 2$ D'après la deuxième inégalité : $x \leq 6$

Modèle combiné : $2 < x \leq 6$

Réponse : $(2, 6]$

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Exemple 4 : Niveau avancé (Difficulté ★★★★☆)

Pour quelles valeurs de $a$ n'existe-t-il aucune solution pour $ax - 2 > ax + 1$ ?

Solution :

Soustrayez $ax$ des deux côtés : $-2 > 1$

C'est toujours faux, quelle que soit la valeur de $a$.

Par conséquent, l'inégalité n'a pas de solution pour toutes les valeurs réelles de $a$.

Réponse : $a \in \mathbb{R}$ (tous les nombres réels)

Inégalités composées

Type « Et » (intersection)

$a < x$ et $x < b$ correspondent à $a < x < b$

Exemple : $-3 < 2x + 1 < 7$

Résoudre comme suit : $-3 < 2x + 1$ ET $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

Solution : $-2 < x < 3$ ou $(-2, 3)$

Type « ou » (union)

$x < a$ OU $x > b$

Exemple : $3x - 2 < 1$ OU $3x - 2 > 7$

Résolvez chacune des suivantes :

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

Solution : $x < 1$, $x > 3$ ou $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

Erreurs courantes

❌ Erreur n° 1 : oublier de retourner le panneau

Incorrect : $-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

Correct : $-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ Erreur n° 2 : opérations incorrectes sur les fractions

Faux : Multiplier $\dfrac{x}{2} > 3$ par 2 pour obtenir $x > 1.5$ ✗

Correct : $\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ Erreur n° 3 : notation erronée des intervalles

Faux : $x > 3$ signifie $(3, \infty]$ ✗

Correct : $x > 3$ correspond à $(3, +\infty)$ ✓

Conseils pour les études

1. ✅ Indiquer le sens de l'inégalité : noter le sens à chaque étape
2. ✅ Mettre en évidence les multiplicateurs négatifs : ceux-ci nécessitent une inversion de signe
3. ✅ Vérification à l'aide de valeurs de test : Vérifiez que votre réponse rend la proposition initiale vraie
4. ✅ Tracer une droite numérique : visualiser l'ensemble des solutions

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💡 Astuce d'examen : L'erreur la plus courante consiste à oublier d'inverser l'inégalité lorsqu'on divise par un nombre négatif. Veillez toujours à bien mettre en évidence cette étape !