quadratic equation | CSCA Math Glossary

Concept fondamental

Une équation quadratique est une équation polynomiale dans laquelle la puissance maximale de la variable est 2. C'est l'un des types d'équations les plus fondamentaux en algèbre.

Forme standard

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

où : - $a$ est le coefficient de $x^2$ (ne peut pas être 0) - $b$ est le coefficient de $x$ - $c$ est le terme constant - $x$ est la variable

Méthodes de résolution

Méthode 1 : factorisation

Lorsque l'équation peut être factorisée, c'est l'approche la plus directe.

Exemple : $x^2 - 5x + 6 = 0$ Étape 1 : $(x - 2)(x - 3) = 0$ factoriserÉtape 2 : mettre chaque facteur à zéro

$x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ Réponse : $x = 2$ ou $x = 3$

Méthode 2 : compléter le carré

Transformez l'équation en un carré parfait.

Exemple : $x^2 + 6x + 5 = 0$ Étape 1 : $x^2 + 6x = -5$ RéorganiserÉtape 2 : Compléter le $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ carréÉtape 3 : Prendre la racine $x + 3 = \pm 2$ carrée

Réponse : $x = -1$ ou $x = -5$

Méthode 3 : Formule quadratique

Cette méthode universelle fonctionne pour toutes les équations quadratiques :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ où $\Delta = b^2 - 4ac$ est appelé le discriminant.

Analyse du discriminant

- $\Delta > 0$ : Deux racines réelles distinctes - $\Delta = 0$ : Deux racines réelles égales (racine répétée) - $\Delta < 0$ : Pas de racines réelles (deux racines complexes conjuguées)

Formules de Vieta

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2 + bx + c = 0$ , alors :

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (somme des racines)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (produit des racines)

Applications concrètes

Application 1 : Problème d'aire

Problème : Un terrain rectangulaire a une longueur supérieure de 4 m à sa largeur. Sa surface est de 60 m². Trouvez ses dimensions.

Solution : Soit la largeur = $x$ , alors la longueur = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

Réponse : Largeur = 6 m, longueur = 10 m (ignorer la valeur négative)

Application 2 : Mouvement projectile

Problème : un objet est lancé vers le haut à une hauteur $h = 20t - 5t^2$ (mètres). Quand touche-t-il le sol ?

Solution : définissez $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

Réponse : $t = 4$ secondes ( $t = 0$ est le temps de lancement)

Application 3 : maximisation du profit

Problème : un produit vendu au prix de $x$ se vend $(100-x)$ à unités par jour. Le coût est de 40 $/unité. Trouvez le prix optimal.

Fonction de profit : $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ Maximum : au sommet $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

Réponse : un prix de 70 $ maximise le profit

Exercices pratiques CSCA

> 💡 Remarque : les exercices pratiques suivants sont conçus sur la base du programme de l'examen CSCA et des formats de tests standardisés chinois afin d'aider les étudiants à se familiariser avec les types de questions et les approches de résolution de problèmes.

Exemple 1 : niveau élémentaire (difficulté ★★☆☆☆)

Résolvez en factorisant : $x^2 - 7x + 12 = 0$

Options :

A. $x = 2$ ou $x = 5$
B. $x = 3$ ou $x = 4$
C. $x = 1$ ou $x = 12$
D. $x = -3$ ou $x = -4$ Solution :

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ Réponse : B

Exemple 2 : Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Si $x^2 - 6x + k = 0$ a deux racines réelles égales, trouvez $k$ .

Solution :

Des racines égales signifient $\Delta = 0$ que :

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ Réponse :

--- $k = 9$

Exemple 3 : Avancé (Difficulté ★★★★☆)

Si $x_1$ , $x_2$ sont les racines de $x^2 - 3x - 1 = 0$ , trouvez $x_1^2 + x_2^2$ sans résoudre.

Solution :

D'après les formules de Vieta : $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ En utilisant l'identité :

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ Réponse :

## $11$ Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Oublier

$a \neq 0$

Faux : $0x^2 + 3x + 2 = 0$ est une équation quadratique ✗

Correct : Lorsque $a = 0$ , cela devient une équation linéaire ✓

❌ Erreur 2 : signe incorrect dans la formule quadratique

Faux : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ✗

Correct : ✓ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ Erreur 3 : erreur de signe dans la formule de Vieta

Faux : $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Correct : ✓ $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ Erreur 4 : ne pas vérifier les solutions parasites

Correction : dans les problèmes concrets, vérifiez que les solutions ont un sens physique (par exemple, les longueurs ne peuvent pas être négatives).

Conseils d'étude

✅ Maîtrisez les trois méthodes : la factorisation est la plus rapide, la complétion du carré montre le concept, la formule est universelle
✅ Le discriminant est essentiel : calculez toujours $\Delta$ pour déterminer les types de racines
✅ Les formules de Vieta sont testées : entraînez-vous à trouver des expressions sans les résoudre
✅ Vérifiez les réponses dans le monde réel : écartez les solutions déraisonnables.

💡 Conseil pour l'examen : les équations du second degré sont au cœur du programme d'algèbre du CSCA, représentant environ 60 % des problèmes d'équations. Mémorisez la formule et les formules de Vieta !

二次方程èrcì fāngchéng