复数fùshù

Concept fondamental

Un nombre complexe est une extension des nombres réels, prenant la forme$z = a + bi$

où$a, b$

sont des nombres réels et$i$

est l'unité imaginaire.

Unité imaginaire

L'unité imaginaire$i$

satisfait$i^2 = -1$

.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Puissances de$i$

:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

Forme des nombres

$z = a + bi$

complexes

Où : -$a$

est la partie réelle, notée $\text{Re}(z)$

-$b$

est la partie imaginaire, notée $\text{Im}(z)$

• Lorsque$b = 0$

,$z$

est un nombre réel

• Lorsque$a = 0, b \neq 0$

,$z$

est un nombre imaginaire pur

• Lorsque$b \neq 0$

,$z$

est un nombre imaginaire

Égalité$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

complexe

Plan complexe

Représentation géométrique

Le nombre complexe$z = a + bi$

peut être représenté comme un point$(a, b)$

dans le plan complexe :

• Axe horizontal (axe réel) : représente la partie réelle
• Axe vertical (axe imaginaire) : représente la partie imaginaire

Représentation vectorielle

Le nombre complexe$z = a + bi$

peut également être considéré comme un vecteur$\overrightarrow{OZ}$

allant de l'origine$O$

au point$(a, b)$

.

Module des nombres complexes

Définition

Le module d'un nombre complexe$z = a + bi$

, noté$|z|$

:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Signification

$|z|$

géométrique représente la distance entre le point$z$

et l'origine dans le plan complexe.

Propriétés

1.$|z| \geq 0$

, avec égalité si et$z = 0$

seulement si 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(inégalité triangulaire)

Conjugué

Définition

Le conjugué d'un nombre complexe$z = a + bi$

, noté$\bar{z}$

:

$\bar{z} = a - bi$

Signification

$\bar{z}$

géométrique est la réflexion de$z$

par rapport à l'axe réel.

Propriétés

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Opérations

Addition et

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

soustraction###

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Multiplication### Division

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Méthode : Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exercices CSCA

[Exemple 1] Basique (Difficulté ★★☆☆☆)

Étant donné le nombre complexe$z = 3 + 4i$

, trouver$|z|$

et$\bar{z}$

.

Solution :

Module : $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Conjugué :

$\bar{z} = 3 - 4i$

Réponse :$|z| = 5$

, $\bar{z} = 3 - 4i$

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[Exemple 2] Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Calculez$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

Solution :

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Réponse : $8 - i$

Idées fausses courantes

❌ Idée fausse n° 1 : considérer$i$

comme une variable

Faux : penser que$i$

peut être simplifié davantage comme les variables algébriques

Correct :$i$

est l'unité imaginaire avec$i^2 = -1$

, et non une variable.

❌ Idée fausse n° 2 : calcul erroné du module

Faux : $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Correct : $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Idée fausse n° 3 : signe conjugué erroné

Faux :$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Correct :$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(seule la partie imaginaire change de signe)

Conseils d'étude

1. ✅ Comprendre l'unité imaginaire :$i^2 = -1$

est fondamentale 2. ✅ Maîtriser les opérations : addition, soustraction, multiplication, division 3. ✅ Se souvenir du module et du conjugué : leurs significations géométriques et leurs propriétés 4. ✅ Entraînez-vous à la division : la rationalisation du dénominateur est essentielle 5. ✅ Comprenez la géométrie : points et vecteurs dans le plan complexe

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💡 Conseil pour l'examen : les nombres complexes sont importants en mathématiques au lycée. Ils sont relativement simples dans les examens CSCA, mais les opérations et concepts de base doivent être maîtrisés ! Ils représentent environ 10 à 15 % des problèmes d'algèbre.